新编【创新方案】高考数学理一轮复习配套文档:第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算
3页1、 第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于1个单位的向量(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定: 0与任一向量共线(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:abba;结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|,当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当0时,a0( a)( )a;()aaa;(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数,使得ba.1两向量共线与平行
2、是两个不同的概念吗?两向量共线是指两向量的方向一致吗?提示:方向相同或相反的一组非零向量,叫做平行向量,又叫共线向量显然两向量平行或共线,其方向可能相同,也可能相反2两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同?提示:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两向量平行时,两向量可以在同一条直线上30与a0时,a的值是否相等?提示:相等,且均为0.4当两个非零向量a,b共线时,一定有ba,反之成立吗?提示:成立1若向量a与b不相等,则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析:选C若a与b都是零向量,则ab,故选项C正确2若mn,nk,则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析:选D可举特例,当n0时,满足mn,nk,故A、B、C选项都不正确,故D正确3D是ABC的边AB上的中点,则向量等于()A BC D解析:选A如图,由于D是AB的中点,所以4(教材习题改编)化简的结果为_解析:()().答案: 5已知a与b是两个不共线向量,且向量ab与(b3a)共线,则的值为_解析:ab与(b3a)共线,存在实
3、数,使ab(3ab),即答案: 易误警示(四)平面向量线性运算中的易误点典例(20xx广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使abc;给定向量b和c,总存在实数和,使ab c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A1B2C3D4解题指导利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断解析对于,因为a与b给定,所以ab一定存在,可表示为c,即cab,故abc成立,正确;对于,因为b与c不共线,由平面向量基本定理可知正确;对于,由题意必有b和c表示不共线且长度不定的向量,由于为正数,故bc不能把任意向量a表示出来,故错误;对于,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必有|b|c|a|,故错误,因此正确的个数为2.答案B名师点评1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准,易误认为也是正确的,从而错选C.2进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解下列命题中正确的是()A向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使baB在ABC中,0C不等式|a|ab|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a,b不共线,则向量ab与向量ab必不共线解析:选D若a0,b0,此时a,b共线,但对任意实数都不满足ba,故选项A不正确;0而不是0,故选项B不正确;当a,b中至少有一个为0时,两个等号同时成立,故选项C不正确;因为向量a与b不共线,所以a,b,ab与ab均为非零向量若ab与ab共线,则存在实数,使ab(ab),即(1)a(1)b,则方程组无解,故假设不成立,即ab与ab不共线,故选D.
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