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抛物线的性质归纳及证明(共10页)
10页1、精选优质文档-倾情为你奉上抛物线的常见性质及证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y22px(p0)焦点F的弦两端点为,倾斜角为,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线,垂足为A、B、C.1.求证:焦半径;焦半径;; 弦长| AB |x1x2p=;特别地,当x1=x2(=90)时,弦长|AB|最短,称为通径,长为2p;AOB的面积SOAB.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOqA1B1F图2证明:根据抛物线的定义,| AF | AD |x1,| BF | BC |x2, | AB | AF | BF |x1x2p如图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1,垂足为A1、B1,那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq,| AF |同理,| BF | AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2,则y1、y2异号,因此,| y1 | y1 | y1y2 |SOAB
2、| y1y2 | .2. 求证:; .当ABx轴时,有成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:.化简得:方程(1)之二根为x1,x2,.3.求证:Rt.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFENM图3先证明:AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,则ADMECM,| AM | EM |,| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,BMAE,即AMBRt【证法二】取AB的中点N,连结MN,则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |,| MN | AN | BN |ABM为直角三角形,AB为斜边,故AMBRt.【证法三】由已知得C(,y2)、D(,y1),由此得M(,).kAM,同理kBMCDBRAxyOF图41234MkAMkBM1BMAE,即AMBRt.【证法四】由已知得C(,y2)、D(,y1),由此得M(,).(x1,),(x3,)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0,故AMBRt.【证法五
3、】由下面证得DFC90,连结FM,则FMDM.又ADAF,故ADMAFM,如图412,同理34图5CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOF( ,0)aaabbb2318090AMBRt.接着证明:DFCRt【证法一】如图5,由于| AD | AF |,ADRF,故可设AFDADFDFRa,同理,设BFCBCFCFRb,CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图6GHD1而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180,即ab90,故DFC90【证法二】取CD的中点M,即M(,)由前知kAM,kCFkAMkCF,AMCF,同理,BMDFDFCAMB90.【证法三】(p,y1),(p,y2),N1NMxyOF图7M1lp2y1y20,故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |,即,且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF,而RCFRFC90DFRRFC90DFC904. CA、CB是抛物线的切线CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图8D1【证法一】kAM,AM的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22px联立消去x得yy1()
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