零件参数设计的数学模型

1、零件参数设计的数学模型 零件参数设计的数学模型指导老师 数学建模教练组 李俊（热9501） 罗建梅（热9502） 王震宇（供9502）摘 要：本文基于Y偏离Y0 造成的损失和零件成本，根据原设计给定的标定值和容差，使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率，进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性，得到较为精确且合理的结果，最后求出原设计的总费用（损失费+成本费）为313.4万元。 本文通过分析参数x1,x2,x7对y的影响，在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点，并使y=1.5，再利用计算机仿真实验，综合判断容差等级方案，确定出比较理想的标定值和容差等级方案：最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。 一、问题的重述 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。 在进行零件

2、参数设计时，由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值，所以造成质量损失，偏离越大，损失越大；且零件的容差大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。 有一种离子分离器某参数（记作Y)由7个零件的参数(记作X1 ,X2 , X7)决定，经验公式为： Y=174.42Y的目标值(记作Y0)为1.50。若Y偏离Y00.1时，产品为次品，质量损失1000(元)；若Y偏离Y00.3时，产品为废品，损失9000(元)。 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值来表示 ，A等为1%，B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号 / 表示无此等级零件):标定值容许范围 C等 B等 A等 X10.075,0.125 / 25 / X20.225,0.375 20 50 / X30.075,0.125 20 50 200 X40.075,0.125 50 100 500 X51.125,1.875 50 / / X612,20 10 25 100 X70.5625,0.935 / 25 100现进行成批生

3、产,每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：X1=0.1，X2=0.3，X3=0.1，X4=0.1，X5=1.5，X6=16，X7=0.75；容差均取最便宜的等级。 综合考虑Y偏离Y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数(包括标定值和容差)，并与原设计的总费用相比较。 二、模型假设及符号约定模型假设 1零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率； 2零件的参数符合正态分布； 3符合要求的零件只考虑自身成本，而不再考虑其它因素的影响。符号约定M 表示成批生产时每批产量的个数，此题为1000个；a 表示产品为次品时的质量损失为1000元； b 表示产品为废品时的质量损失为9000元； 表示第i个零件参数对应的均方差； 表示一批零件第i个零件参数的平均值，即期望值； 表示第i个零件（变量）的新值；Ri 表示变量Xi对的搜索区域；Kd 表示区域缩减系数，其值正数；r 表示0，1之间服从均匀分布的伪随机数；k 表示随机概率的分布系数，是个正奇数；z y偏离的绝对值；P y偏离造成的损失；P 表示零件的成本；Q y偏离造成的损失和零件成本 三、问题的分析 由于标志产品性能的参数是

4、由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容差两部分。如果将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值。那么，根据原理，在其中的概率为：0.9974。显然，在此之外的概率为：0.0026。相比之下，在其之外的可以忽略不计。故此，在生产部门无特殊要求时，容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意，我们还可以得到：容差与标定值的相对值可以判断容差的等级（进而可以确定零件的成本），即： A等： B等：0.10.3 C等：进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本，而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以，我们就先从产品的零件参数着手，逐步求优。 零件参数x1,x2,x7对y的影响由经验公式： 来确定，因的目标值（记作）为1.50。且已知：当偏离时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当偏离时，产品为废品，损失为9,000（元）。可见，选定的标定值x1,x2,x7使得y的值接近1.5，且在（x1,x2,x7）附近y的取值稳定在1.5附近。所以，我们所设计零件参数，就要尽可能使产品为正品的数量多，次品的数量少、尽量使废品不出现，从而使得总费用（损失费+

5、成本费）最小。 四、模型的建立 在原设计中，组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为： X1=0.1，X2=0.3，X3=0.1，X4=0.1，X5=1.5，X6=16，X7=0.75 将以上标定值代入公式： 得出： 显然： 大于0.1且小于0.3由y的取值符合正态分布，可以看出在该标定值下，产品出现“次品”和“废品”的概率较大。 由于零件的容差均取最便宜的等级，故此，可得出七个零件参数可能的取值范围如下表： X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7取值范围0.095,0.1050.27,0.330.09,0.110.09,0.111.35,1.6514.4,17.60.7125,0.7875 为了计算造成的损失和零件成本。我们给出了两个模型。模型一 首先考虑造成的损失，由于给出的零件参数都有一定的容差，所以零件成本即可确定。进一步，由零件的参数决定的产品参数也在一定的范围之内。而要确定损失，首要问题就是要确定生产一批产品中正品、次品、废品出现的数量。在此之前，我们先对一批产品中正品、次品、废品的概率做一计算；根据已知条件我们建立了以下的模型： 其中为参数Xi标定值容许范围，为容差等

6、级。模型二 利用随机搜索法，由于零件的参数是随机的（参数）且符合正态分布，所以，我们构造出另一模型： 其中为随机概率的分布系数，是个正奇数，以保证值可正可负，其值通常取1，3，5，7等，其中K的值越大，则所构成的函数就越窄，反之越缓。但是在K大于7时在多数情况下，对搜索不很有利，降低了收敛速度。所以，我们在对取值时应尽量避开大于7的数。由正态分布的特点可知：当=1时，显然是不可取的。但是，的取值有规律，即x的取值范围（也就是零件的容差）越小，就越大，反之越小。 五、模型求解及结果分析模型一 我们利用网格法（亦称枚举法）求解，把划定的区域分成若干个“网格点”，然后就各个网格所在的产品规格做一分析，得出正品、次品、废品的概率，从而得出总的费用。于是得出求解方程 所以 从上式可以看出，求解需进行七次积分，如不利用计算机进行计算，显然很难得出结果，此时我们就编程利用计算机求解。 在此，我们利用数学软件编程（源程序及求解过程见附录1）求解得： P=293.4（万元） 由于零件的等级均取最便宜的，所以，零件的成本为： P=20（万元）总的代价为： P总=P+P=293.4+20=313.4（万元）

7、 在此，我们为了使模型具有可靠性，还利用了数学软件在零件参数范围之内随机取值得出结果。当随机循环比较小时，P总的变化比较大，即P总的值不稳定，而当随机循环次数比较大时，P总的值趋向一稳定值。我们把随机循环的次数为20万次与50万次的做一统计： 20万次时，P总=313.4（万元）； 50万次时，P总=314（万元）。由于在产品中只要出现一个废品，其费用就要增加9000元，而上面得出的结果只相差6000元。所以，可以验证以上得出的结果具有稳定性。模型二 我们把模型二结合已知的数据，对模型 中的参数做一分析：把记作零件参数的标定值，零件的容差决定了的取值范围。由于正是用来确定的取值。而是(-1,1)之间的值。所以，我们把记为。 我们编程（程序参见附录二：程序）利用计算机求得P正 、P次 、P废的概率分别为0.09、0.695、0.215，求得在原设计中y 偏离y0造成的损失和零件成本共283000元。在编程进行的随机搜索法中，我们发现和d的选择对算法效率有显著的影响。当靠近最优点时，增大和减小d的值，可使P废的概率增大，经过一定次数的迭代，取d=1,K=3.这样我们的模型具有一定的稳定性和合理性。 由于我们所建模型时伪随机数r的个数不同，导致在不同次数的计算中，r的值不能一一对应相等。r的个数越多，在我们所编程序中运行次数越多，即步长越小，搜索越细，相对来说计算结果就越精确，所以由于计算时间的限制我们的计算结果免不了会有误差存在。 从以上两个模型结果可以看出，计算结果相差无几，这也许是由于随机误差的原因，因为只要在产品中增加一个废品，那么总费用将增加9000元，而两模型的结果相差不到两万元，故此，这点误差是可以容忍的。 由于在模型二中，一些参数带有主观色彩，使得计算结果就不能确定其完全可靠，但经过模型一及计算机随机发生器产生的结果检验。而且，当我们计算的循环次数越多，其结果越稳定。故此，模型二还是有一定的可信度。 对于模型一，虽然比较严密，但是计算量特别大，我们设计的程序运行将近两个小时，而模型二只需10分钟

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