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邻接矩阵及拉普拉斯矩阵
5页1、邻接矩阵及拉普拉斯矩阵邻接矩阵及拉普拉斯矩阵 邻接矩阵 图的邻接矩阵能够很方便的表示图的很多信息,且具有描述简单、直观的特点。无向简单图的邻接矩阵定义如下:设图G = (V,E ) ,有n 1 个顶点,分别为:v1,v2,Lvn,则G 的邻接矩阵 A是按如下定义的一个n阶方阵。 E1,A= ,a= nnij0, 否则 直观上,由邻接矩阵我们可以得到如下信息: 1.邻接矩阵是一个0,1的对称矩阵,对角线元素为0。 2.矩阵的各个行和是各个顶点的度。所有元素相加和为边数的二倍。 3. An 的i, j 位置元素为vi与vj之间的长度等于n的通路的数目,而i,j位置的元素为vi到自身的回路的数目。特别的A的i,i位置元素是vi的度;A的i,i位置元素是含vi的三角形数目的二倍。 4.由3.设Sl=23Ak=1lk(l1),则Sl中i,j位置元素Si(,l)j为顶点vi与vj之间长度小于或等于l的通路的个数。若Si(n-1)=0,则说明vi与vj之间没有通路。由此我们可以得到一个,j判断图G的联通新的重要准则:对于矩阵Sl=图,否则图G是非连通图。 5.设G 是连通图,将矩阵A的所有是1的元素
2、换成1,并且把对角线元素aii换成相Ak=1lk,若S中所有元素都非零则G是连通应顶点vi的度,则所得到的矩阵的任何元素的代数余子式都相等,等于G 的生成树的数目。 拉普拉斯矩阵 Laplacian matrix的定义 拉普拉斯矩阵,也称为基尔霍夫矩阵, 是表示图的一种矩阵。给定一个有n个顶点的图G=(V,E),其拉普拉斯矩阵被定义为: L=D-W 为图的邻接矩阵。 其中为图的度矩阵,举个例子。给定一个简单的图,如下: 把此“图”转换为邻接矩阵的形式,记为: 把组成一个的每一列元素加起来得到个数,然后把它们放在对角线上,的对角矩阵,记为度矩阵,如下图所示: 根据拉普拉斯矩阵的定义,可得拉普拉斯矩阵 为: 拉普拉斯矩阵的性质 介绍拉普拉斯矩阵的性质之前,首先定义两个概念,如下: 对于邻接矩阵,定义图中A子图与B子图之间所有边的权值之和如下: W(A,B)=iA,jBwij 其中,wij定义为节点i到节点j的权值,如果两个节点不是相连的,权值为零。 与某结点邻接的所有边的权值和定义为该顶点的度d,多个d 形成一个度矩阵 di=wij j=1n拉普拉斯矩阵 具有如下性质: 是对称半正定矩阵; L1=01,即 的最小特征值是0,相应的特征向量是1。证明: L1=(D-W)1=0=01 有n个非负实特征值0=l1 且对于任何一个属于实向量l2Lln fRn,有以下式子成立 1NfLf=wij(fi-fj)2 2i,j=1 其中,L=D-W,di=wj=1nij,W(A,B)=niA,jBwij。证明: fLf=fDf-fWf=difi-fifjwij2ni=1i,j=1211=(difi2-2fifjwij+djfj2)=wij(fi-fj)2i=12i,j=1i,j=1j=1nnnn
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