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2019-2020学年高中数学第三章圆锥曲线与方程 4 曲线与方程 4.2 4.3 直线与圆锥曲线的交点课时跟踪训练北师大版选修2-1

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常见问题

1、直线与圆锥曲线的交点A组基础巩固1曲线x24y252与x2y237的交点个数是()A1B2C3 D4解析：将方程x2y237代入x24y252，可得3y215，则y有两个值，依据任何一个曲线方程可知y的一个值对应两个x值，因此，两条曲线有4个交点答案：D2平面内到定点(0，3)的距离与到定直线y3的距离之比为的动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线解析：显然定点(0，3)不在定直线y3上，又该动点到定点(0，3)的距离与到定直线y3的距离之比为，是大于0小于1的常数，因此满足题意的动点的轨迹是椭圆答案：A3若直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(，0)(1，) B(1,3)(3，)C(，3)(3,0) D(1,3)解析：由消去y，整理得(3m)x24mxm0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由1表示椭圆知，m0且m3.综上可知，m的取值范围是m1且m3.答案：B4已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L()A4条 B3条C2条 D1条解析：因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和

2、x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条答案：B5直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：由，得3x24x20.设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，1.答案：C6已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为_解析：设M(x，y)，则，3(x1)23y2(x3)2.2x23y26.所求方程为1.答案：1.7直线ykx1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则t的取值范围是_解析：直线ykx1恒过点(0,1)，1，t1.又1表示焦点在x轴上的椭圆，0t5，1t5.答案：1t58过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：将椭圆与直线方程联立得交点A(0，2)，B(，)，设右焦点为F，故SOABOF|y1y2|1|2|.答案：9中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线xy10相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标

3、原点，求椭圆的方程解析：设椭圆方程1(ab0)e，a24b2，即a2B.椭圆方程为1.把直线方程代入化简得5x28x44b20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2(44b2)y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2(14b2)由于OMON，x1x2y1y20.b2，a2.所以椭圆方程为x2y21.10已知抛物线y24x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k的直线l，与抛物线交于A、B两点，AB的中点为P，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)(1)求k的取值范围；(2)求证：x00.1k1.又k0，k(1,0)(0,1)(2)证明：设P(x3，y3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x3，y3k(1)，故线段AB的垂直平分线的方程为y(x)令y0，x01.k2(0,1)，x0b0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2

4、(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e.因为1b2，所以00，b0)交于相异两点M，N，若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于，求双曲线方程解析：(1)m(m1)，消去m，得xy1.点P的轨迹方程为xy10.(2)，(b2a2)x22a2xa2a2b20，.不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则又以MN为直径的圆过原点，0，x1x2y1y20，即x1x2(1x1)(1x2)0，10，即b2a22a2b2.又e，3，即b22a2.a，b，经检验a，b，符合条件，双曲线方程为4x22y21.6已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形- 1 -

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