第二轮复习秘笈7立体几何

1、立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.例1 四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD.（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥PABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.面ABCD,BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB， PADA， PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60. 而PB是四棱锥PABCD的高，PB=ABtg60=a, .（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AEDP

2、，垂足为E，连结EC，则ADECDE， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EOAC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90. 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角.讲解:（1）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是异面直线AB1与CD的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；（3）连结B1C，易证B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=6

3、00， , , .作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例3 如图al是120的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90，C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=（I） 求三棱锥DABC的体积；（2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 讲解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角al的平面角.是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=（2）过O在内作OMAC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则ACDM.DMO 为二面角DACB的平面角. 又在DOA中，OA=2cos60=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即ABC斜边上的高,异面直线AB,CD所成的角为arctg比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看. 例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且

4、这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值 图 图 讲解: 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当 .故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例5 已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E （1）求证：AP平面BDE； （2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比讲解: (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D为AC的中点，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D

5、，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱锥PABC所成两部分体积的比为12或21值得注意的是, “截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积 讲解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：,即,所以母线和底面所成的角为（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1/AB且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O

6、为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点N的坐标为（R，R），代入方程得R2=2p（R），得R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为.将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题: 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母 线长为1，则该几何体的体积等于 例7 如图，几何体ABCDE中，ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD平面ABC；（2）求证：AFBD； (3) 求二面角BFCG的正切值.讲解: F、G分别为EB、AB的中点，FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， 四边形FGCD为平行四边形，FDGC，又GC面ABC， FD面ABC.（2）AB=EA，且F为EB中点，AFEB 又FGEA，EA面ABCFG面ABC G为等边ABC，AB边的中点，AGGC.AFGC又FDGC，AFFD 由、知AF面EBD，又BD面EBD，AFBD.（3）由（1）、（2）知FG

7、GB，GCGB，GB面GCF.过G作GHFC，垂足为H，连HB，HBFC.GHB为二面角B-FC-G的平面角.易求.例8 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1PPA=DQQB=512. (1) 求证PQ平面CDD1C1； (2) 求证PQAD； (3) 求线段PQ的长. 讲解: （1）在平面AD1内，作PP1AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作QQ1BC交CD于点Q1，连结P1Q1. , PP1QQ1 .由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQP1Q1 而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ平面CDD1C1（2）AD平面D1DCC1， ADP1Q1，又PQP1Q1， ADPQ.（3）由（1）知P1Q1 PQ,，而棱长CD=1. DQ1=. 同理可求得 P1D=.在RtP1DQ1中，应用勾股定理, 立得P1Q1=.做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,上的动点,试求的最小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示?如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1） 求MN的长；（2） 当为何值时，MN的长最小；（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 1 -

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