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证明:质量均匀分布的球壳对球内任一点的引力为零
2页质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零的方向必相反。故只须再证明P所受两“球皮”的引力大小相等。为此一一设P点所放质点的质量为 m,两“球皮”的面积分别为和AS2,球壳的质量面密度为(T ,两“球皮”到P点的距离分别为ri和2,由万有引力定律可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为 FG 止和f2二G乩二212过P点沿两圆锥轴线作 虚线(蓝色)分别交两“球皮”于 Ai 和A2两点,这条直 线与两半径的夹角均为 0 (为什么),如图所示。现将投影到与直线 A/ A?垂直的平面上,即投影到图中过 Ai点且与直线Ai A2 垂直的平面上。因立体角一一圆锥顶角 很小,所以投影平面面积与球冠面积相等。所以投影得到一球冠,面积为ASi COS0 (为什么?自己想想!)。同样的,将 从2投影到过A2点的平面上,得到另一球冠,它的面积根据球冠的面积公式 S =2二Rh =2二R R-Rcos=2R2i-cos可得与球冠S对应(的圆锥的)立体角为 二2 =2二1 - cos。显然,这一立体角与球的半径R2球冠的高度h均无关,仅与圆锥的顶角的一半:-有关。对比平面弧度角与圆的半径无关,可以更好地加以理解。万事具备,只欠mL/s.m_;_hs cosmH二 G 2G2 Gr1cos 丁 r12COS)F2 =G 2m 卜:S2mL匚 S2 costG2cost *r2mH二 Gcos:因为两个圆锥的顶角相等,从而两个立体角Q相等,从而Fi与F2大小相等。这样,我们就证明了两块“球皮” ASi和AS?对放在P点质点m的引力的合力为零;而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮”,每一对“球皮”对放在任意点 P的质点的引力的合力均为零;所以,质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零!附录:“球冠面积”与“立体角 Q”,将下图立体想象起来。Rh221 cos=2 R R- Rcos = 2 R 1 一 cosR2式中,R为球的半径,h为球冠的高度,a为与球冠对应的圆锥的半顶角。
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