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任意角三角函数定义的有关知识结构图

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1、6.4 构建数学知识的结构框图“身体的生长，由于事物的融化。心智的生长，由于知识的组织。思维不是一架机器，会把各种材料，照一个模型，制成一种商品。它是一种能力，会把个别的事物所引起的个别的暗示，探索到底，而联络起来”。 (美)约翰杜威著，孟宪承、俞庆棠译.思维与教学M.上海:商务印书馆，1936:42. 不能建立知识之间的联系，学生就需要记忆太多的孤立的概念和结论；有了知识之间的联系，学生就能更容易记忆和理解知识。建立数学知识之间的联系，构建数学知识的结构框图，就成为数学教学思维导向的有效策略之一。在数学教学中，数学教师需要适时对学生所学的知识加以概括总结。通过对新旧知识进行横向对比和纵向沟通，厘清新旧知识的衔接点，找到新旧知识的结合部，构建数学知识结构框图，展示数学知识的内部结构，打通数学知识之间的关系，强化记忆、深化理解，帮助学生达到对数学对象的性质及相互关系的深刻认识和本质把握，促成良好数学认知结构的形成。就本节课的教学而言，可以沿着以下几条路径来构建任意角的三角函数的知识结构体系：1) 角的扩张(锐角弧度制任意角)；2) 定义的推广(锐角三角比在弧度制意义下重新认识锐角三角比任

2、意角的三角函数)；3) 研究工具(平面直角坐标系终边上点的坐标单位圆单位圆与终边的交点坐标)；4) 定义方式(几何定义法终边坐标法单位圆定义法)；5) 思想方法(主导思想：数形结合；弧度制：对应思想；三角函数的定义：函数思想；从锐角到任意角：类比思想、从特殊到一般)。构建出的任意角的三角函数的知识结构框图如图6.4.1所示：任意角三角函数定义的有关知识角：角的定义、角的分类（角概念的扩张）、终边相同的角、象限角、角的度量（弧度制）锐角三角函数的定义：sin=cos=tan=研究工具：平面直角坐标系、终边上点的坐标、单位圆、三角函数线思想方法：数形结合、函数思想、对应思想、类比思想、从特殊到一般终边定义法：一般地，对于任意角，设的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，我们规定：(1)比值叫做的正弦，记作sin= ;(2)比值叫做的余弦，记作cos = ;(3)比值(x0)叫做的正切，记作tan=。其中，r=。单位圆定义法：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么(1) y叫做的正弦，记作sin= y;(2) x叫做的余弦，记作cos= x;(3)叫做的正切，记作tan= ( x0)。定义域：符号：sin: |R;cos: |R;tan: |R,kp+,kZ.图6.4.1当然，这种知识结构框图的构建需要学生的主动参与。教师在每个重要概念、重要结论的新授课结束之后，或每个单元、每个学期结束之际，应让学生通过对所学知识的归纳整理，按数学知识的发生发展历程、数学知识之间的逻辑关系、数学知识中蕴含的思想方法等理出线索。同时在归纳已有的知识结构的基础上，让学生猜测可能将要学习的有关知识，从数学的角度和方法论的角度提出可能会研究的问题。长期下去，便可以促使学生理解前后知识的衔接点，把握知识之间的联系，构建出数学知识的结构框图，达到对数学知识的整体认识。

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