二次函数根的分布

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一：两根与0的大小比较即根的正负情况分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,一个大于0大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论表二：两根与的大小比较分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于,一个大于即大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论表三：根在区间上的分布分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内图象有两种情况,只画了一种一根在内,另一根在内,大致图象得出的结论或大致图象得出的结论或综合结论不讨论根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外,即在区间两侧,图形分别如下需满足的条件是1时,；2时,对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值.如方程在区间上有一根,因为

2、,所以,另一根为,由得即为所求；方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.如方程有且一根在区间内,求的取值范围.分析：由即得出；由即得出或,当时,根,即满足题意；当时,根,故不满足题意；综上分析,得出或根的分布练习题例1、已知二次方程有一正根和一负根,#数的取值范围.解：由即,从而得即为所求的范围.例2、已知方程有两个不等正实根,#数的取值范围.解：由或即为所求的范围.例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,#数的取值范围.解：由即即为所求的范围.例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,#数的取值范围.解：由题意有方程在区间上只有一个正根,则即为所求范围.注：对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大1二次函数与图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c,判别式=b2-4ac,当0时y=f与x轴有二交点；当=0时,y=f与x轴仅有一交点；当0时,y=f与x轴无交点当0时,设y=f图象与x轴两交点为x1x2一

3、元二次函数y=f与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f=0的两根观察图象不难知道图像为观察图象不难知道=0,a0, =0,a0当0时,y=f图象与x轴无公共点,其图象为观察图象不难知道a0时,绝对不等式f0解为xRa0时,绝对不等式f0解为xR2讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式组的求解问题,其方法有3种：1应用求根公式；2应用根与系数关系；3应用二次函数图象在进行转化时,应保证这种转化的等价性就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设fx=ax2bxca0,方程ax2bxx=0的个根为,m,n为常数,且nm,方程根的分布无外乎两种情况：,同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑三、好题解给你预习题1. 设有一元二次函数y2x2-8x+1试问,当x3,4时,随x变大,y的值变大还是变小？由此yf在3,4上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y22-7对称轴x2,区间3,4在对称轴右边,yf在3,4上随x变大,y的值也变大,因此ymax=f1yminf-52.设有一元二次函数y2x2-4ax+2a2+3试问,此函数对称轴是什么？当x

4、3,4时,随x变大,y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此,求yf在3,4上的最大值与最小值解：经配方有y22+3对称轴为x=a当a3时,因为区间3,4在对称轴的右边,因此,当x3,4时,随x变大,y的值也变大当3a4时,对称轴x=a在区间3,4内,此时,若3xa,随x变大,y的值变小,但若ax4,随x变大,y的值变大当4a时,因为区间3,4在对称轴的左边,因此,当x3,4时,随x变大,y的值反而变小根据上述分析,可知当a3时,ymax=f=2a2-16a+35ymin=f2a2-12a+21当3a4时,yminf3其中,a3.5时,ymaxf2a2-16a+35a3.5时,ymaxf2a2-12a+21当a4时,ymaxf2a2-12a+21yminf2a2-16a+35(1) 基础题例1设有一元二次方程x2+2x+0试问：m为何值时,有一正根、一负根m为何值时,有一根大于1、另一根小于1m为何值时,有两正根m为何值时,有两负根m为何值时,仅有一根在1,4内？解：设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x20,依违达定理有m+20 m-2反思回顾：x1、x20条件下,ac0,因

5、此能保证0设x11,x21,则x1-10,x2-10只要求0,即x1x2-+10依韦达定理有+2+10若x10,x20,则x1+x20且x1,x20,故应满足条件依韦达定理有由图象不难知道,方程f0在3,4内仅有一实根条件为ff0,即9+6+16+8+00例2.当m为何值时,方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根,由根与系数关系：要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正由以上分析,有即当时,原方程有两个负数根应用题例1.m取何实数值时,关于x的方程x2+m-2x5-m=0的两个实根都大于2？解：设fx=x2+m-2x+5-m,如图原方程两个实根都大于2所以当-5m-4时,方程的两个实根大于2例2已知关于x方程：x2-2axa0有两个实根,且满足01,2,#根a的取值范围解：设fx=x2-2axa,则方程fx=0的两个根,就是抛物线y=fx与x轴的两个交点的横坐标,如图01,2的条件是：1,2例3m为何实数时,关于x的方程x2+m-2x5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.解：设fx=x2m-2x5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件

6、是f20,即42m-25-m0解得m-5所以当m-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2(2) 提高题例1已知函数的图象都在x轴上方,#数k的取值范围解：1当,则所给函数为二次函数,图象满足：,即解得：2当时,若,则的图象不可能都在x轴上方,若,则y=3的图象都在x轴上方由12得：反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论例2已知关于x的方程m-1x2-2mxm2+m-6=0有两个实根,且满足01,#数m的取值范围解：设f=x2-2mx+m2m-6,则方程fx=0的两个根,就是抛物线y=fx与x轴的两个交点的横坐标如图,01的条件是解得例3已知关于x的方程3x2-5xa=0的有两个实根,满足条件-2,0,1,3,#数a的取值范围解：设fx=3x2-5xa,由图象特征可知方程fx=0的两根,并且-2,0,1,3的解得-12a0四、课后演武场1.已知方程x2+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值范围是 B ABCD2.方程x2+x+=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值范围是 C A0m2B-3m1C-2m0D-1m13.已知方程有两个不相等的实数根,则k

7、的取值范围是 C ABCD4已知关于x的方程3x2+m-5x7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,#数m的取值范围可知方程fx=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是：f405已知关于x的方程x22mx2m3=0的两个不等实根都在区间0,2内,#数m的取值范围征可知方程fx=0的两根都在0,2内的充要条件是2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨设,则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论：1若,则,；2若,则,另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小.二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以与闭区间,以下三个例题各代表一种情况.例1、函数在上有最大值5和最小值2,求的值.解：对称轴,故函数在区间上单调.1当时,函数在区间上是增函数,故；2当时,函数在区间上是减函数,故例2、求函数的最小值.解：对称轴1当时,；2当时,；3当时,改：1本题若修改为求函数的最大值,过程又如何？解：1当时,； 2当时,. 2本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行？ 解：1当时,；2当时, ,；3当时,；4当时, ,. 例3、求函数在区间上的最小值.解：对称轴1当即时,；2当即时,；3当即时,例4、讨论函数的最小值.解：,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线,当,时原函数的图象分别如下1,2,3因此,1当时,；2当时,； 3当时,10 / 10

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