2017学年江西鹰潭一中高三上学期月考（五）数学（理）试题（解析版）

1、2017届江西鹰潭一中高三上学期月考（五）数学（理）试题一、选择题1已知，为异面直线，下列结论不正确的是（ ）A必存在平面使得 B必存在平面使得，与所成角相等C必存在平面使得， D必存在平面使得，与的距离相等【答案】C【解析】试题分析：由，为异面直线，知：在A中，在空间中任取一点，过分别作，的平行线，则由过的，的平行线确一个平面，使得，故A正确；在B中，平移至与相交，因而确定一个平面，在上作，交角的平分线，明显可以做出两条过角平分线且与平面垂直的平面使得，与所成角相等角平分线有两条，所以有两个平面都可以故B正确；在C中，当，不垂直时，不存在平面使得，故C错误；在D中，过异面直线，的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面，则平面使得，与的距离相等，故D正确故选：C【考点】空间中直线与直线的位置关系.2已知正项数列中，（），则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，故选D.【考点】数列递推式.3等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：关于的不等

2、式的解集为，分别是一元二次方程的两个实数根，且，可得：，可得：，使数列的前项和最大的正整数的值是故选：B【考点】等差数列的前项和.4直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意设底面正的边长为，过作平面，垂足为，则点为底面的中心，故即为与平面所成角，又直三棱柱的体积为，由直棱柱体积公式得，解得，与平面所成的角为故选：C【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.5已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：向量，的夹角为，且，所以，又，所以，则，所以向量在向量方向上的投影为，故选：D【考点】平面向量的数量积运算.6算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A

3、 B C D【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，则，故选：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.7两个单位向量，的夹角为，点在以圆心的圆弧上移动，则的最大值为（ ）A1 B C D【答案】D【解析】试题分析：两个单位向量，的夹角为，点在以圆心的圆弧上移动，建立如图所示的坐标系，则，即设，则，故当时，取得最大值为，故选：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；基本不等式.8如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A点到平面的距离 B三棱锥的体积C直线与平面所成的角 D二面角的大小【答案】C【解析】试题分析：A：平面也就是平面，既然和平面都是固定的，到平面的距离是定值；B：的面积是定值（定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据的结论到平面的距离也是定值，三棱锥的高也是定值，于是体积固定三棱锥的体积是定值；C：是动点，也是动点，推不出定值的结论，就不是定值直线与平面所成的角不是定值；D：，为上任意一点，、为上任意两点，二面角的大小为定值故选：C【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所

4、成的角；二面角平面角及求法.【方法点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案9已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，且，不等式恒成立恒成立恒成立，即（）恒成立，整理得：（）恒成立，函数的对称轴方程为，该函数在区间上单调递增，故选：C【考点】函数恒成立问题.10如图，已知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，同理：为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角

5、坐标系，则，设，（），整理得点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆平面平面，为二面角的平面角当与圆相切时，最大，取得最小值此时，故选：C【考点】二面角的平面角及其求法.【方法点睛】二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等11在中，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，（，），则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由，三点共线可得存在实数使得，同理由，三点共线可得存在实数使得，解得，设，则，即，即，故，即的最小值为，故选：D【考点】向量在几何中的应用；平面向量基本定理及其应用.12若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由得，即，即设，则，则条

6、件等价为，即有解，设，为增函数，当时，当时，即当时，函数取得极小值为：，即，若有解，则，即，则或，故选：D【考点】函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可二、填空题13已知，且，成等比数列，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：，又，成等比数列，解得，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，即，故的最小值为：，故答案为：.【考点】等比数列的通项公式；基本不等式.14已知四面体的每个顶点都在球的表面上，底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为_【答案】【解析】试题分析：在等腰中，取的中点，连接，重心为的三等分点，由于底面，直线与底面所成角的正切值为，所以，在等腰中，所以的外接圆直径，设的外接圆圆心为，四面体的球心为，在中，球的表面积为，故答案为.【考点】球的表面积和体积.15在中，角，所对的边分别为，已知

7、，则的最大值为_【答案】【解析】试题分析：在中，整理可得：，可得：，由余弦定理可得：，解得：，当且仅当时，故答案为：【考点】余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理即已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而利用余弦定理，基本不等式即可得解16在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_【答案】【解析】试题分析：设球心为，设底边和体高，如图，则，（为斜高），的底边的高为，的边长为，又，令，得，由该体积函数的几何意义得：当时，正四棱锥的体积最小当正四棱锥的体积取最小值时，其高等于故答案为：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.三、解答题17如图，已知为的外心，角，的对边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设三角形的外接圆半径为，将已知的等式变形后，左右两边平方，由为三角形的外心，得到，再利用

8、平面向量的数量积运算法则计算，可得出的值；（2）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值试题解析：（1）设外接圆半径为，由得：两边平方得：，即：，则（2），即：可得：，即：，【考点】二倍角的余弦；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用.18设数列的前项和为，已知，（）（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用，推导出，由此能证明是等比数列；（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列的前项和试题解析：（1）由，及，得，整理，得，又，是以为首项，为公比的等比列（2）由（1），得，（），由，得【考点】等比数列的定义；数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19设等差数列的前项和为，若，且，数列的前项和为，且满足（）（）求数列的通项公式及数列的前项和；（）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由【答案】（），；（）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析【解析】试题分析：（）设数列的公差为，利用数量积运算性质可得：，又，解得，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”方法即可得出；（）由()，且，可得，对分类讨论，利用等比数列的定义即可得出试题解析：（）设数列的公差为，由，得又解得，因此数列的通项公式是（），所以，所以

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