2022年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第五章 &amp#167;2 复数的四则运算

1、2022年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第五章 2 复数的四则运算 复数的加法与减法已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1加(减)法法则设abi与cdi(a，b，c，dR)是任意复数，则(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2运算律对任意的z1，z2，z3C，有z1z2z2z1(交换律)(z1z2)z3z1(z2z3)(结合律).复数的乘法问题1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足问题3：试举例验证复数乘法的交换律提示：若z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i.故z1z2z2z1.复数的乘法(1)定义

2、：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)运算律：对任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.共 轭 复 数观察下列三组复数：(1)z12i；z22i；(2)z134i；z234i；(3)z14i；z24i.问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数问题2：试计算每组中的z1z2，你发现有什么规律？提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数复数z的共轭复数用来表示，也就是当zabi时，abi.于是za2b2|z|2.复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数abi，cdi(cdi0)若(cdi)(xyi)abi，则xyi叫做复数abi除以cdi的商问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x

3、，y.提示：由(cdi)(xyi)abi得xcyd(xdyc)iabi.即问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i(cdi0)1复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成1，再把实部、虚部分别合并2复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数) 复数的加减运算例1计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)思路点拨利用复数加减运算的法则计算精解详析(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.一点通复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(

4、2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项1计算(1i)(2i)(32i)解：(1i)(2i)(32i)1()i(32i)4(2)i.2若(310i)y(2i)x19i，求实数x，y的值解：原式化为3y10yi(2xxi)19i.即(3y2x)(x10y)i19i.复数的四则运算例2计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i；(3)(23i)(12i)i5；(4)2.思路点拨按照复数的乘法与除法运算法则进行计算精解详析(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.(3)原式i5(i2)2iii.(4)21817.一点通(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简(2)im(mN)具有周期性，且最小正周期为4，则i4n1i，i4n2

5、1，i4n3i，i4n1(nN)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3(新课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1iB.1iC.1i D.1i解析：z1i，故选A. 答案：A4(新课标全国卷)若复数z满足 (34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B.C.4D.解析：因为|43i| 5，所以已知等式为(34i)z5，即zi，所以复数z的虚部为，选择D.答案：D5计算：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(2).解：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)(4i)(62i)(7i)(43i)248i6i22821i4i34739i.(2)(1i)4ii(1i)22i(2i)24i.共 轭 复 数例3已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.精解详析设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.一点通已知关于z和的方程，求z的问题，解题的常规思路为设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组

6、求解6.(四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AABBCCDD解析：因为xyi的共轭复数是xyi，故选B.答案：B7(新课标全国卷)复数z的共轭复数是()A2i B2iC1i D.1i解析：z1i，所以1i.答案：D8已知复数z15i，z2i3，且12，求复数z.解：由已知得：15i，23i，12(5i)(3i)22i，zi.1复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1i)22i，i，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等，在解题中可使运算简化2解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程z|z|2|2；zRz；z0，z为纯虚数z. 1(12i)()A2iB22iC22i D.2解析：原式i22i.答案：B2已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a()A2 B.C. D.1解析：因为1ai，所以 2，又a0，故a.故选B.答案：B3计算：()A0 B1Ci D.2i解析：3ii2i.故选D.答案：D4(1i)20(1i)20的值是()A1 024 B1 024C0 D.512解析：(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.答案：C5(天津高考)已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.解析：因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.答案：12i6若复数z满足z(1z)i1，则zz2_.解析：由题得zizi10，则zi，所以zz2i21.答案：17计算：(1)(i)2(45i)；(2).解：(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)1i.8已知复数z满足(z2)iai(aR)(1)求复数z；(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？解：(1)由已知得z21ai，z3ai.(2)由(1)得z29a26ai，复数z2对应的点在第一象限，解得3a0.即当3a0时，复数z2对应的点在第一象限

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