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《应用型本科线性代数及其应用》习题参考解答.doc
84页1、应用型本科线性代数及其应用习题参考解答习题一1、利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1); (2);(3); (4)解(1):解(2):解(3):解(4):2、求下列各排列的逆序数,并确定排列的奇偶性:(1)3617254;(2)891476235;(3)(2n+1)(2n-1) 531解(1):逆序数为10,偶排列。解(2):逆序数为23,奇排列。解(3):逆序数为。当或时为偶排列,当或时为奇排列3、写出四阶行列式中所有包含并带正号的项。解:项的一般形式为,其中,是1,2,4的全排列。所有可能的列标序列的逆序数为, ,故包含且带正号的项有,。4、若阶行列式的元素满足(),则称这样的行列式为反对称行列式,试证:当为奇数时,。解:一方面,另一方面,于是,。5、计算下列行列式(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1):解(2):解(3):解(4):解(5):解(6):6、计算阶行列式(1);(2)解(1):第n-1行减去第n行,第n-2行减去第n-1行,.,第2行减去第3行,第1行减去第2行,有解(2):提取各阶公因子,得第2,3,n-1,n行分别加上第1行,得7、求解下列方程
2、(1),(2)解(1):原方程为其根为。解(2):故原方程为,从而。8、设的元的代数余子式记作,求。解:9、用克拉默法则解下列方程组:(1) (2)(3) (4)解(1):解(2):解(3):解(4):10、确定参数的值,使下列方程组有惟一解,并求出该解:(1) (2)解(1):,故当时,方程组有惟一解。,解(2):,故当时,方程组有惟一解。,11、确定参数的值,使以下齐次线性方程组有非零解解:系数行列式故当时,齐次线性方程组有非零解。12、求三次多项式,使满足,。解:设,解得,故13、在空间坐标系中,3元方程表示一空间平面。设有3元线性方程组其几何意义如图所示判别向量,是否共面,并说明理由。解:由几何意义可知,三平面无共同的交点,即非齐次线性方程组无解。根据克莱默法则,该非齐次线性方程组的系数行列式从而,共面。14、证明平面上经过两不同点、的直线的方程可以表示成为证明:过两点、的直线方程为,从而15、证明:顶点、的三角形的面积,证明:记、,16、分别求下列给定顶点的四边形的面积,并判别其中哪几个是平行四边形。(1)(0,0),(5,2),(6,4),(11,6)(2)(0,0),(-
3、1,3),(4,-5),(3,1)(3)(-1,1),(0,5),(1,-4),(2,1)(4)(0,-2),(6,-1),(-3,1),(3,2)解(1):记A(0,0),B(5,2),C(6,4),D(11,6),因, ,故该四边形构成平行四边形,且面积为解(2):记A(0,0),B(-1,3),C(4,-5),D(3,1),该四边形不构成平行四边形。且面积为解(3):记A(-1,1),B(0,5),C(1,-4),D(2,1),该四边形不构成平行四边形。且面积为解(4):记A(0,-2),B(6,-1),C(-3,1),D(3,2),因, ,故该四边形构成平行四边形,且面积为17、分别求下列给定点的平行六面体的体积。(1)一个顶点在原点,相邻顶点在(1,0,-2),(1,2,4),(7,1,0);(2)一个顶点在原点,相邻顶点在(1,4,0),(-2,-5,2),(-1,2,-1);(3)一个顶点在(1,1,1),相邻顶点在(0,-1,-2),(1,-4,3),(-2,1,4);(4)一个顶点在(2,1,3),相邻顶点在(1,-1,4),(2,-1,5),(-3,2,1)。解(1
4、):平行六面体的三个棱向量为,所构成的平行六面体的体积为解(2):平行六面体的三个棱向量为,所构成的平行六面体的体积为解(3):平行六面体的三个棱向量为,所构成的平行六面体的体积为解(4):平行六面体的三个棱向量为,所构成的平行六面体的体积为18、求以(-2,-3),(4,-3),(6,2),(1,6),(-4,5),(-6,2)为顶点的六边形的面积。解:从(-2,-3)出发,将六边形划分为4个三角形,其面积为19、分别求单位圆的内接正6边形、正12边形、正24边形的面积,由此你能得出何种猜想。解:猜想:若用表示圆内接正边形面积,则。事实上,有,20、求如下图所示的曲边梯形面积的近似值。解:(1)建立数学模型在区间0.5,4上插入个分点,小区间所对应的曲边梯形面积,用以下梯形面积来近似整个曲边梯形面积,可以用复化梯形面积来近似,而(2)给出对区间0.5,4的等分数,进行具体计算n12345An7.87505.49314.84854.57934.4412n678910An4.36124.31074.27694.25324.2359利用定积分,该曲边梯形面积的准确值为从近似计算的数值可以观
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