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高中数学人教A版必修1学案：3.1函数与方程互动课堂学案含答案

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常见问题

1、 3.1 函数与方程互动课堂疏导引导方程的根与函数的零点1函数零点的概念对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(xD)的零点2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点存在的条件如果函数f(x)在区间a, b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.4函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）代数法：求方程f(x)=0的解；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点5.函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A. (1, 2)B. (2, 3)C. (, 1)和（3,4）D. (e, +)

2、【探究】从已知的区间（a, b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)f(b)0.f(1)=-20,f(2)=ln2-10，f(2)f（3）0.f(x)在(2,3)内有一个零点.【答案】 B【溯源】这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间a, b的端点值的乘积是否有f(a)f(b)0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间a, b使f(a)f(b)0.案例2 二次函数y=ax2+bx+c中，ac0，则函数的零点个数是()A. 1B. 2C. 0D. 无法确定【探究】 c=f(0),ac=af(0)0、=0、0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-,h上是减函数,在h,+)上是增函数.当a0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-,h上是增函数,在h,+)上是减函数.（3）二次函数的三种常用解析式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0).顶点式：y=a(x-h) 2+k(a0),其中（h, k)为顶点坐标.标根式：f(x)=a(x-)(x-)(a0),其中和是方程f(x)=0

3、的根.疑难疏引于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：根的分布x1x2kkx1x2x1kx2图象充要条件f(k)0根的分布x1、x2(k1,k2)k1x1k2x2k3在(k1,k2)内有且仅有一根图象充要条件f(k1)f(k2)0或者=0且(k1,k2)312用二分法求方程的近似解1.二分法的定义对于在区间a, b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤（1）确定区间 a, b，验证f(a)f(b)0，给定精度.（2）求区间(a, b)的中点 x1.（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则取区间(a,x1)（此时零点 x0(a,x1)）；若f(x1)f(b)0，则取区间(x1,b)（此时零点x0(x1,b)）.（4）判断是否达到精度,即若 |a-b|0，a=0.解得b0， a2+b0,当b-1时，a2+b0恒成立. b-1.因此，选D【答案】 D5. 若方程x2+(m-3)x+ m=0两个根都小于1，求m的范围.【思路解析】画出图象，根据图象特征，可列出不等式组，从而得出结论.【解】令f(x)=x2+(m-3)

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