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4辅助线作法--运用角平分线
8页1、三.借助角平分线造全等1:如图,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2:(06郑州市中考题)如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.中考应用:(06北京中考)如图,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。说明:遇到相关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等(2)利用角的平分线构造全等三角形:过角平分线上一点作两边的垂
2、线段练习:如图22,ABCD,E为AD上一点,且BE、CE分别平分ABC、BCD求证:AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例6: 如图23,在ABC中,AD平分BAC,C=2B求证:AB=AC+CD分析:因为角平分线所在的直线是这个角的对称轴,所以在AB上截取AE=AC,连接DE,我们就能构造出一对全等三角形,从而将线段AB分成AE和BE两段,只需证明BE=CD就能够了延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线例7: 如图24,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于E求证:ACE=B+ECD分析:注意到AD平分BAC,CEAD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形(3)利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在ABC中,AD平分BAC,过点D作DEAB,DE交AC于点E易证AED是等腰三角形所以,我们能够过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形 图25例11 如图26,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,DEBD于D,交BC于点E求证:CD=BE练习:1如图27,在ABC中,B=90,AD为BAC的平分线,DFAC于F,DE=DC求证:BE=CF 2已知
3、:如图28,AD是ABC的中线,DEAB于E,DFAC于F,且BE=CF求证:(1)AD是BAC的平分线;(2)AB=AC 图283在ABC中,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q求证:AB+BP=BQ+AQ 图294如图30,在ABC中,AD平分BAC,AB=AC+CD求证:C=2B 图305 已知,E为ABC的A的平分线AD上一点,ABAC求证:AB-ACEB-EC 6如图32,在四边形ABCD中,BCBA,AD=CD,BD平分ABC 求证:A+C=1807如图33所示,已知ADBC,1=2,3=4,直线DC过点E作交AD于点D,交BC于点C求证:AD+BC=AB 8已知,如图34,ABC中,ABC=90,AB=BC,AE是A的平分线,CDAE于D求证:CD=AE 9ABC中,AB=AC,A=100,BD是B的平分线求证:AD+BD=BC 10如图36,B和C的平分线相交于点F,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为()A9 B8 C7 D6 图3611如图37,ABC中,AD平分BAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点求证:AB=AC 图3712已知:如图38,ABC中,AD是BAC的平分线,E是BC的中点,EFAD,交AB于M,交CA的延长线于F求证:BM=CF
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