数学物理方程：第2章　微分方程的固有值问题

1、- 23 -第2章微分方程的固有值问题第2章微分方程的固有值问题2.1微分方程初值问题的求解方法本节讨论：齐次常微分方程的解法，非齐次常微分方程的解法，去掉一阶导数的方法 ，初值问题一些解法的例子二阶常微分方程边值问题一般可写为：（） (2.1.1)二阶常微分方程初值问题一般可写为： （） (2.1.2)本节属常微分方程内容，因此仅用例子介绍方法，对其结果不讨论不证明。齐次常微分方程的常用解法本章只给出相关数学课程表中二阶常微分方程（也可称为一维数学物理方程）的一些相关公式与结论。常系数齐次微分方程的解二阶常系数齐次常微分方程一般可写为 (2.1.3)本章仍然沿用常微分方程中的符号而没使用数学物理方程中的符号。它的特征方程为 (2.1.4)设特征根为与，则原方程有解，当方程两根为不相等的实根、相等的实根、共轭复根时，方程的解分别为：，（ ）(2.1.5)例1：（常系数微分方程）求的解解：由特征方程得特征根为与，则原方程有解：欧拉方程的解二阶欧拉方程为： (2.1.6)式中、为常数。欧拉方程为变系数方程，若作变换，则方程变为常系数方程： (2.1.7)此式中的求导“”为对的求导，而原方程

2、中的求导“”为对的求导。设方程的特征根为与，当方程两根为不相等的实根、相等的实根、共轭复根时方程的解分别为：，（） (2.1.8)变系数齐次微分方程的解变系数的二阶齐次微分方程为 (2.1.9)若已知该方程的一根，则方程的另一解为 (2.1.10)方程的通解为： (2.1.11)非齐次常微分方程的常用解法非齐次微分方程的解非齐次常微分方程一般可写为 (2.1.12)设齐次方程有二解与，则可得方程的特解为 (2.1.13)方程的通解为： (2.1.14)此方法亦称为公式法，也可通过常数变易法求得。例2：（非齐次一维调和方程）求解，解：容易求得齐次方程的特解：，。得到原方程的解为：例：（已知一解求另一解）已知为的一解，求的解。解：当时，将齐次方程改写为此时，利用，可求得该齐次方程的另一解取，则齐次方程的通解为进一步可得非齐次方程的特解为因此非齐次方程的解为：若时，则的解为。【注】：事实上，本题中的条件可以不需要；这是因为该齐次方程为欧拉方程，它的解可用常系数方程的方法求得。非齐次微分方程特解的积分变换法先考虑一个特殊方程 (2.1.15)这里、为常数，为广义函数。对它两端作富里叶变换得 (

3、2.1.16)即 (2.1.17)方程的解为上式的富氏逆变换。再考虑一般的非齐次微分方程 (2.1.18)对它两端作富里叶变换得 (2.1.19)即 (2.1.20)方程的特解可通过上式作逆变换求得： (2.1.21)可见，两个方程的解有着必然的联系。 称方程为方程的基本解方程（或格林函数方程，详见相关章节）。前一方程的解称为后一方程的基本解。 上述公式表明：一般非齐次微分方程的解为该方程的基本解与非齐次微分方程中非齐次项的卷积（待证）。 去掉一阶项的方法为去掉一阶导数项，在方程中作变换得 (2.1.22)其中：， (2.1.23)关于的（不含一阶导数项的）方程较之前面关于的（含一阶导数项的）方程求解应该更容易。当等于正常数时，的特解如上例所得。例：（去掉一阶导数项）求的解。解：直接求解是困难的，可利用去掉一阶导数项的办法。，可以得到：即。因此，原方程的解为初值问题的约束条件法该方法是先求出方程的通解，再利用定解条件确定相关积分常数。例1：（常微分方程的边值问题）求解解： 由前面的例题知道，方程有解将边界条件代入得，即例2：（常微分方程的初值问题）求解解：由上节例求得方程的解为且。故问

4、题解为初值问题的积分变换法积分变换方法是对原方程待求量作积分变换，并利用相关条件求得变换后的定解问题，最后利用逆变换求得原问题的解。作为例子：对初值问题 (2.1.24)对方程两端作拉普拉斯变换可得 (2.1.25)即 (2.1.26)对上式两边作逆变换得 (2.1.27)初值问题的基本解方法（冲量原理法）冲量原理方法是利用冲量原理将非齐次方程的定解问题化为齐次方程的定解问题的方法。先求得齐次方程的定解问题，再利用两者的关系求得原问题的解。例如，对初值问题 (2.1.28)作相应的冲量问题 (2.1.29)冲量问题的解为。可以证明，原问题的解为 (2.1.30)基本解方法例子 对初值问题 (2.1.31)作基本解问题（它的解Y称为上述问题的基本解） (2.1.32)可以证明：原问题的解为基本解问题的解与原问题中非齐次项的卷积。即 (2.1.33)初值问题的格林函数法格林函数方法是将非齐次定解问题化为非次问题且仅方程的非齐次项用广义函数替代，求得该问题的解-格林函数，再将原方程两边乘格林函数后积分可求得原问题的解。（或将原非齐次项与格林函数作内积即可）例如对初值问题 (2.1.34)作格

5、林函数问题 (2.1.35)可以证明：原问题的解为基本解问题的解与原问题中非齐次项的卷积。即 (2.1.36)注：关于基本解与格林函数详见第八九章。2.2微分方程边值问题的幂级数解法本节讨论：微分方程的幂级数法，贝塞尔方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法为求解更一般的微分方程，引入一种更为广泛应用的方法：幂级数法。不加证明地给出不同问题的相关结论（可参阅相关复变函数教材）： 设问题为，其中在内解析，称为方程的正则点，则上述问题在有唯一的解析解（系数唯一确定）： (2.2.1) 设方程为，其中在内解析，称为方程的正则奇点，则上述问题在有解： (2.2.2)或者 (2.2.3)其中：不为零。 设，其中在内解析，但是的阶数高于一阶的极点或是高于二阶的极点，此时称为方程的非正则奇点，则上述问题在有解： (2.2.4)或者 (2.2.5)注：简要地说，若方程无奇点，则可取为幂级数形式的解；若方程中有一阶奇点，有二阶奇点，则可取为有限负幂次的洛朗级数形式的解；否则，取为直至的洛朗级数形式的解。 贝塞尔方程的幂级数解法 贝塞尔方程可写为： (2.2.6)这里的为任意常数。若将它写为标准形式 (2.2

6、.7)不难看出：处为方程的奇点，不能用幂级数的方法求解。依照复变函数理论知：它可用广义幂级数的方法求解。设，则， (2.2.8)代入方程得： (2.2.9)比较系数得：， (2.2.10)不妨设则由第一式必有且。此时其它两个方程变为 (2.2.11) 取得，故有，继而得到与(2.2.12)上式中采用了函数的记法。可取使得 (2.2.13)即有解 (2.2.14)可以证明：该幂级数是收敛的、它满足贝塞尔方程（解），常用表示。取时的结果如下：当整数和当奇数时，也为方程的解。当偶数（即，零与正整数）时，也为方程的解。2.3二阶微分方程的固有值问题本节讨论：固有值问题， S-L方程的固有值问题，边界条件讨论，固有值与固有函数固有值问题在求解数学物理方程中常常遇到二阶常微分方程的固有值问题，它是带参数的二阶常微分方程的边界值问题，含二阶常微分方程、边界条件、参数与解的讨论。例如，求解常微分方程： (2.3.1)的非零解（又称为平凡解）。可以分三种情况讨论若则方程有解，（不合题意）舍去若则方程有解，（不合题意）舍去若则方程有解，当时， （取） (2.3.2)称为的固有值，为固有函数；求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题。对一般的方程有下节的结论。斯特姆刘维方程的固有值问题任何一个二阶常微分方程都可化为如下形式的方程 (2.3.3)为参数。该方程称为斯特姆-刘维（S-L）方程。对此方程还设定：1），2）在上及、为连续函数；3）在上、为正；4）在上非负且连续；5）在、处、至多有一级极点。称为权函数。对二阶线性偏微分方程，以函数乘方程后就可化为S-L方程。此时，方程的解与有关系式 (2.3.4)即 (2.3.5)例1：（一维调和）方程：易验证，例2：勒让德方程：易验证，；方程可化为例3：贝塞尔方程：易验证，；原方程可化为-方程的边界条件的讨论对微分方程附以相应的边界条件，构成S-L边值问题。边界条件之一（齐次性条件）：一般情况下，当（或）时，在区间的端点上约定条件为：或 (2.3.6)其中：、非负且满足。上述条件称为齐次边界条件。特别常见的一种是第一边界条件：， 。 (2.3.7)边界条件之二（周期性条件）：当时，可提供一组周期性条件

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