2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷（含解析）

1、2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数21+3i的虚部为()A. 35B. 15C. 15D. 352.已知两点A(4,1)，B(7,3)，则与向量AB同向的单位向量是()A. (35,45)B. (35,45)C. (35,45)D. (45,353.如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是()A. AB=BCB. AB=CDC. AC= 2ABD. |AC|=|BD|4.已知复数z满足z1ii1+i=1，则z=()A. 2+iB. 2iC. 2+iD. 2i5.在边长为1的菱形ABCD中，A=3，若点P，Q满足BP=BC，DQ=DC，其中，0且+=1，则APAQ的最大值为()A. 12B. 3C. 138D. 746.在ABC中，C=90，点D在AB上，AD=3DB，|CB|=4，则CBCD=()A. 8B. 10C. 12D. 167.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处

2、.则点P到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是()A. 9B. 10C. 11D. 128.已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r(0r1)为半径的圆上有一个动点M，则|MA+MB+3MC|最大值为()A. 13B. 89C. 5 11D. 11+6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复平面内表示复数：z=m+1+(m1)i(mR)的点为M，则下列结论中正确的为()A. 若zR，则m1B. 若M在复平面所在直线y=2x上，则m=3C. 若z为纯虚数，则m=1D. 若M在第四象限，则1m110.已知复数z1=2i，z2=2i，则()A. z2是纯虚数B. z1z2对应的点位于第二象限C. |z1+z2|=3D. |z1z2|=2 511.已知ABC中，AB=1，AC=4，BC= 13，D在BC上，AD为BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是()A. BE= 3B. ABC的面积为 3C. AD=4 25D. P在ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2 7三、填空题：本题共3小题，每小题5

3、分，共15分。12.已知向量a=(3,4)，则与a同向的单位向量为_13.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cosAa+cosBb=sinCc，则sinCsinAsinB= _14.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcosCccosB=4，4C3，则tanA的最大值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在锐角ABC中，已知b=2 3，2ac=2bcosC(1)求B；(2)求3a+2c的取值范围16.(本小题15分)在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位(1)z1=1+2i，z2=34i，计算z1z2与OZ1OZ2；(2)设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,dR)，求证：|OZ1OZ2|z1z2|，并指出向量OZ1、OZ2满足什么条件时该不等式取等号17.(本小题15分)设ABC的外接圆半径是12,A,C均为锐角，且|AC|=|AB|2+|BC|2(1)证明：ABC不是锐角三角形；(2)证明：在ABC的外接圆上存在唯一的一点D，满足

4、对平面上任意一点P，有|PA|2|PB|2=|PD|2|PC|218.(本小题17分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ 3asinCbc=0(1)若a=3,2BD=DC，求AD的取值范围；(2)若b= 3，点A，B，C分别在等边DEF的边DE，EF，FD上(不含端点).若DEF面积的最大值为7 3，求c19.(本小题17分)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受形如z=a+bi(a,bR)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2=1.当b=0时，z为实数；当b0且a=0时，z为纯虚数.其中|z|= a2+b2，叫做复数z的模设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，dR z1=z2a=cb=d 如图，点Z(a,b)，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，

5、反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos+isin)的形式，即a=rcosb=rsin，其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定00且+=1，则APAQ=(AB+BP)(AD+DQ)=(AB+AD)(AD+AB)=ABAD+ABAD+AD2+AB2=12+12+=32+1232+12(+2)2=138，当且仅当=12时取等号，即APAQ的最大值为138故选：C由平面向量数量积的运算，结合基本不等式的应用求解本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了基本不等式的应用，属中档题6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题选取CA，CB为基底，将CD用基向量表示后代入计算可得【解答】解：因为ABC中，C=90，点D在AB上，AD=3DB，|CB|=4，故CD=CA+AD=CA+34AB=CA+34(AC+CB)=14CA+34CB，所以CBCD=CB(14CA+34CB)=14CACB+34CB2=12，故选：C7.【答案】B【解析】解：每次跳跃的路径对应的向量为a1=(3,4)，b1=(4,3)，c1=(5,0)，d1=(0,5)，a2=(3,4)，b2=(4,3)，c2=(5,0)，d2=(0,5)，因为求跳跃次数的最小值，则只取a1=(3,4)，b1=(4,3)，c1=(5,0)，d1=(0,5)，设对应的跳跃次数分别为a，b，c，d，其中a，b，c，dN，可得OQ=aa1+bb1+cc1+dd1=(3a+4b+5c,4a+3b+5d)=(33,33)，则3a+4b+5c=334a+3b+5d=33，两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66，因为a+b，c+dN，则a+b=8c+d=2或a+b=3c+d=9，当a+b=8c+d=2时，则次数为8+2=10；当a+b=3c+d=9时，则次数为3+9=12；综上所述：次数最小值为10故选：B根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果本题考查归纳推理，属于基础题8.【答案】A【解析】解：建立如图所示坐标系，则点A(2,2 3),B(2,2 3),C(4,0)，设点M(rcos,rsin)，且00m10，解得1m1，故D正确故选：CD10.【答案】AD【解析】【

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