2023-2024学年福建省福宁古五校联合体高一（下）期中数学试卷（含解析）

1、2023-2024学年福建省福宁古五校联合体高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=i(1+i)，则复数z=()A. 1iB. 1+iC. 1iD. 1+i2.已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m/，n/，/，则m/nB. 若m/，m/，=n，则m/nC. 若n/，n/，则/D. 若m/n，n，则m/3.已知平面向量a=(1,m)，b=(n,2)，c=(2,4)，若a/c，bc，则m+n=()A. 6B. 6C. 2D. 24.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若EB=AB+AC，则+=()A. 12B. 12C. 23D. 15.在ABC中，其内角A，B，C的对边分别是a，b，c根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A. b=7，c=3，C=30B. b=5，c=4，B=45C. a=6，b=6，B=60D. a=2，b=3，A=306.设平面向量|a|= 10，|b|=2，且|ab|= 10，则(2a+b)(ab)=()A. 1B

2、. 14C. 14D. 107.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，的变化规律为边的正方形，依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的底面积为()A. 4B. 5C. 8D. 98.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知acosBbcosA=b，则ba+c的取值范围是()A. ( 33, 22)B. (2 3,1)C. (2 3, 21)D. ( 2+1, 3+2)二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设向量a=(1,1)，b=(0,2)，则()A. |a|=|b|B. (ab)/aC. (ab)aD. a与b的夹角为410.对于ABC，有如下命题，其中正确的有()A. 若sinA=sinB，则ABC为等腰三角形B. 若sinA=cosB，则ABC为直角三角形C. 若sin2A+sin2B+cos2Cb，则ABBC011.如图，BC，

3、DE是半径为6的圆O的两条不同的直径BF=2FO，则()A. BF=12FCB. 若COE=60，则FE在DE上的投影向量为34DEC. |FD+FE|为定值D. 满足FC=FD+FE的实数与的和为定值412.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别为棱B1C1，CD上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是()A. 四面体A1D1MN的体积为定值B. 当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则在正方体ABCDA1B1C1D1中存在棱与平面A1MN平行C. 正方体ABCDA1B1C1D1外接球的表面积为12D. 当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则过A1，M，N三点作正方体ABCDA1B1C1D1的截面，所得截面为五边形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如图所示的是AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB的面积是_14.i是虚数单位，已知|2|=|2i|，写出一个满足条件的复数_15.如图，某景区有三条道路AB，BC，AC，其中BA长为2千米，是正北方向，BC长为2 3千米，是正东方向，某游客在道路AC上相对B东偏北度的且距离B为 7

4、千米的位置，则sin= _16.在直角ABC中，ABAC，AC= 3，AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则APBP的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知复数z1=m3i，z2=1+2i(mR)(1)若z1z2是实数，求m的值；(2)若复数z1z2在复平面内对应的点在第三象限，且|z1|5，求实数m的取值范围18.(本小题12分)已知OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a,OB=b(1)用a,b表示向量OC,DC；(2)若向量OC与OA+kDC共线，求k的值19.(本小题12分)现给出两个条件：2bsinA=atanB，a(sinAsinC)=bsinBcsinC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.(选出一种可行的条件解答，若两个都选则按第一个解答计分) 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若_(1)求B；(2)若ABC的面积为4 3，求ABC外接圆半径的最小值20.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A

5、BAC，AB=AC=1，D是BC的中点(1)求证：A1B/平面ADC1；(2)若AA1=2，求几何体ABDA1B1C1的体积21.(本小题12分)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为OP=(x,y)(1)若在该坐标系下，a=(1,2)，b=(2,3)，计算|a+b|的大小；(2)若在该坐标系下，已知a=(sin,2)，b=(cos,1)，(42)，求|ab|的最大值22.(本小题12分)如图，在四边形ABCD中，已知ABC的面积为S1= 34(AC2AB2BC2)，记ACD的面积为S2(1)求ABC的大小；(2)若CD= 3BC，设CAD=30，BCD=120，求S1S2的值答案和解析1.【答案】B【解析】解：由复数的运算可得z=i(1+i)=1+i故选：B根据题意，由复数的运算，即可得到结果本题考查复数的运算，属于基础题2.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力

6、与思维能力，是基础题由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D【解答】解：若m/，n/，/，则m/n或m与n相交或m与n异面，故A错误；若m/，则在平面内存在不同于n的直线l，使得l/m，则l/，从而l/n，故m/n，故B正确；若n/，n/，则/或与相交，故C错误；若m/n，n，则m/或m，故D错误故选：B3.【答案】D【解析】解：因为a/c，所以142m=0m=2，又bc，所以2n+8=0n=4，所以m+n=2故选：D由向量平行和垂直的坐标表示计算即可本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题4.【答案】A【解析】解：因为在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则AD=12(AB+AC)，且AE=12AD，所以EB=ABAE=AB12AD=AB12(12AB+12AC)=34AB14AC=AB+AC，则=34,=14，所以+=12故选：A由图形利用向量的加法法则进行线性运算即可本题考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A：若b=7，c=3，C

7、=30，由正弦定理可得bsinB=csinC，则sinB=bsinCc=7123=761，此时B不存在，三角形无解，故A错误；对于B：若b=5，c=4，B=45，由正弦定理可得bsinB=csinC，则sinC=csinBb=4 225=2 25 22，可知0C45或135C180，而135C180，应舍去，所以0C12，所以30B90或90B150，两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D正确故选：D对于ABD：根据题意利用正弦定理分析求解，结合内角和性质分析取舍，即可判断解的个数；对于C：结合等边三角形的性质分析判断本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题6.【答案】B【解析】解：因为向量|a|= 10，|b|=2，且|ab|= 10，所以|ab|2=a2+b22ab=10+42ab=10，解得ab=2，所以(2a+b)(ab)=2a2abb2=21024=14故选：B根据题意，利用向量的运算法则，求得ab=2，再由(2a+b)(ab)=2a2abb2，即可求解本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题7.【答案】A【解析】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一

8、个数都是前面两个数之和，接下来的圆弧所在扇形的半径是3+5=8，对应的弧长l=2814=4，设圆锥的底面半径为r，则2r=4，即r=2，该圆锥的底面积为r2=4故选：A根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，进一步求出圆锥的的底面半径，即可求解本题考查旋转体的体积，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】C【解析】解：由于acosBbcosA=b，利用正弦定理sinAcosBsinBcosA=sin(AB)=sinB，故AB=B，整理得A=2B；由于A+B+C=，故C=3B，由于ABC为锐角三角形，故02B2 03B2 ，解得6B4，所以ba+c=sinBsinA+sinC=sinBsin2B+sin3B=sinBsin2B+sin2BcosB+cos2BsinB=14cos2B+2cosB1，由于6B4，设cosB=t，( 22t 32)，所以14cos2B+2cosB1=14t2+2t1且在t( 22, 32)上该函数单调递减，故ba+c(2 3, 21)故选：C直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换，进一步利用换元法及函数的单调性求出结果本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数的关系式的恒等变换，函数的单调性，换元法的应用，主要考查学生的理解能力

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