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【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 第3章3.43.4.基本不等式的证明

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常见问题

1、.第3章不等式3.4 基本不等式(a0，b0)3.4. 基本不等式的证明A级基础巩固一、选择题1如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么的值是()A大于2 B小于2或大于2C小于等于2 D大于2或小于2解析：a，b同号时大于2，a，b异号时小于2.答案：B2下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()Alg(x21)lg(2x) Bx212xC.1 Dx2解析：对于A，当x0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x1时，x212x，故B不成立；对于D，当x0，则函数y的最小值为()A2 B. C1 D2解析：因为t0，yt4242，当且仅当t，即t1时，等号成立答案：A5已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为()A0 B1 C2 D4解析：由题意，知所以2224，当且仅当xy时，等号成立答案：D二、填空题6某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系是_解析：因为A(1x)2A(1a)(1b)AA，所以x.答案：x7(2015湖南卷改编)若实数a，b满足，则ab的最小值为_解析：法一

2、：由已知得，且a0，b0，所以abb2a2，所以ab2.法二：由题设易知a0，b0，所以2，即ab2.答案：28下列命题正确的是_(填序号)若xk，kZ则sin2 x4；若a0，b0，则lg alg b2；若a0，b0，则2.解析：对于，xk，kZ，则sin2x(0，1令tsin2x，则yt，函数y在(0，1上单调递减，所以y5，即sin2x5，当sin2x1时等号成立故错误；对于，若a0，0.所以a4，当且仅当a，即a2时等号成立故错误；对于，若a(0，1)或b(0，1)，则lg a0或lg b0，不等式不成立故错误；对于，a0，b0，0，所以2 2，当且仅当，即ab时等号成立故正确答案：三、解答题9已知a0，b0，c0，d0，求证：4.证明：224，当且仅当ab且cd时取“”号，所以4.10求下列函数的最值：(1)已知函数yx，x(，0)，求此函数的最大值；(2)已知x0，求f(x)3x的最小值解：(1)因为x0，所以0，0，x2 2，当且仅当x即x1时，取“”因此当x1时，函数有最大值2.(2)因为x0，所以f(x)3x2 12，当且仅当3x，即x2时取等号所以f(x)的最小值为

3、12.B级能力提升一、选择题11设ab0，则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4解析：因为ab0，a2a2a2a2a24(当且仅当a2b时取“”)，故.答案：D12若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64解析：xyxy2y8x28，所以8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16.答案：D13已知a、b是正数，则、和的大小顺序是()A. B. C. D. 解析：a、b是正数，显然有(当且仅当ab时，取等号)；再比较与，因为0，所以，故选D.答案：D二、填空题14若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：项，因为a0，b0，2ab，ab2，所以1，即ab1.项，因为0，所以 .所以，故2.项，因为，所以a2b2.又因为ab2，所以a2b22.项，因为a3b3(ab)33a2b3ab283ab(ab)86ab862(由ab1)项，2.答案：15若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析：因为|x|2，当且仅当x1时取“”号，所以要使不等式恒成立，必须且只需|2a1|2，即22a12a.答案：三、解答题16设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明：(1)由abc1(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ac1，而a2b2c2abbcca，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2c，a2c，三式相加得bca2a2b2c，即abc1.

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