福建师范大学21秋《常微分方程》复习考核试题库答案参考套卷47

1、福建师范大学21秋常微分方程复习考核试题库答案参考1. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：证明 必要性 依题设知，对任给0，/2，存在N，使得 m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2 (kN). 从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得所证 充分性 记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得 m(xE：|fk(x)-f(x)|) (kN) 这说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 2. 设f(x)=e3x，则f&39;&39;(0)=( )。 A1 B3 C9 D9e设f(x)=e3x，则f(0)=()。A1B3C9D9eC3

2、. 设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大泊松分布 已知X(5)，则其分布律为计算相邻两项的比值，得 当k4时，pk+1pk；当k4时，pk+1pk因此，最大值在k=4，或k=5时取到计算得，即共有两项最大 4. 设X1，X2，Xn是来自正态总体 N(，2)的简单随机样本，且2= 1.69，则当检验假设为Ho：=35 时，设X1，X2，Xn是来自正态总体 N(，2)的简单随机样本，且2= 1.69，则当检验假设为Ho：=35 时，应采用的统计量为_.参考答案：5. 多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，虽然因复合情形不同，造成求导形式各异，但其本质特征是一致的掌握了求导公式的本质特征，就能正确地运用于各种情形下面以含2个中间变量、2个自变量的复合函数的求导法则为例，来分析它的本质特征 设 u=(x，y)，v=(x，y)，z=f(u，v)，复合函数z=f(x，

3、y)，(x，y)有偏导数 ， 对这一求导法则，我们简称为22法则或标准法则，从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： (1)由于函数z=f(x，y)，(x，y)有两个自变量，所以法则中包含与共两个偏导数公式； (2)由于函数的复合结构中有两个中问变量，所以每一偏导数公式都是两项之和这两项分别含有 (3)每一项的构成与一元复合函数的求导法则类似，即“因变量对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数” 由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量为直观地显示变量之间的复合结构，我们可用结构图(也称树形图)图来表示出因变量z经过中间变量u，v再通向自变量x，y的各条途径 按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广到m个中间变量n个自变量的情形(如图)： 设函数z=f(u1，u2，um)具有连续偏导数，而ui=i(x1，x2，x3)(i=12，m)可偏导，则复合函数z=f1(x1，x2，xn)，m(x1，x2，xn)具有偏导数，且 6. 下列关于导数的结论正确的是( )。A.两个函数的和的导数等于两个函数导数的和B.两个

4、函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD7. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等；问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等； (4)对角线互相平分； (5)对角线互相垂直； (6)对角线是角的平分线； (7)对角线相等； (8)面积等于一边的平方正确答案：(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质8. 无穷小量是一种很小的量。( )A.正确B.错误参考答案：B9. 设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得证明令F(x)=lnf(x)，则 因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得 F(b)-F(a)=F()(b-a)，即 分析将要证的等式变形为 可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在a，b上应用拉

5、格朗日定理 10. 已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求P已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求PP(x)正确答案：11. 设数项级数收敛，则( )必收敛。 A B C D设数项级数收敛，则()必收敛。ABCDB12. 当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)首先建立展式 事实上，将tanx表为 并利用展式2)、3)、4)，得 即为所求的结果 利用此公式以及先前的展式得 由此得 13. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 14. 设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为

6、：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群证明 (1)(a*b)*c=(a+b-5)*c =a+b-5+c-5=a+b+c-10， a*(b*c)=a*(b+c-5) =a+b+c-5-5 =a+b+c-10 满足结合律 (2)根据单位元素的定义有： a*e=e*a=aa+e-5e=5单位元素为5 (3)找逆元素a-1： a*a-1=a-1*a=ea+a-1-5=5a-1=10-a 故存在逆元素 由(1)(3)得：(I，*)是群本题对“*”赋予具体的含义，证明时要找出符合本题的结合律、单位元素、逆元素(不是抽象的证明) 15. 设简单图Gi=(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e， E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)； E2=(a，b)，(b，e设简单图Gi=i(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e，E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)；E2=(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)；E3=(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)；E4=(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(

7、d，e)；E5=(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)；E6=(a，a)，(a，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)做出各图，试问：(1)其中图是有向图，是无向图$ 图是强连通图，图是单向连通图，无弱连通图 16. 试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性： x&39;=y+x-x3，y&39;=-x-y3试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性：x=y+x-x3，y=-x-y3当0时取定正函数V=x2+y2，因V=2x2-2(x4+y4)定负，方程组的零解渐近稳定而当0时因线性近似方程组的特征方程2-+1=0的根有正根，方程组零解不稳定17. 据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?正确答案：18. 描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。该函数的定义域为(-，+)，且函数为偶函数，因此，只要作出它在(0，+)内的图形，即可根据其对称性得到它的全部图形。 求其一、二阶导数，得 y=-2xe-x2 y=2e-x2(2x2-1)， 令y=0，得驻点x=0， 令y=0，得， 当x时y0，所以y=0为该函数图形的水平渐近线。 讨论y，y的正负情况，确定函数y=e-x2的增减区间和极值、凹凸区间和拐点，将上述结果归结为表3-16。 根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形。 19. 集合A=2，3，4，5，6表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B20. 当f(x，y)满足条件_时，fxy(x，y)=fyx(x，y)当f(x，y)满足条件_时，fxy(x，y)=fyx(x，y)fxy(x，y)，fyx(x，y)都连续21. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，-)，(R，)，(R

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