高考数学专题复习：课时达标检测(十六)导数与函数的极值、最值

1、课时达标检测(十六) 导数与函数的极值、最值一、全员必做题1已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值，极小值分别为()A，0 B0，C.，0 D0，解析：选C由题意知，f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0得解得所以f(x)x32x2x，由f(x)3x24x10，得x或x1，易得当x时，f(x)取极大值，当x1时，f(x)取极小值0.2已知函数f(x)x33x29x1，若f(x)在区间k,2上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A3，) B(3，)C(，3) D(，3解析：选D由题意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在区间k,2上的最大值为28，所以k3.3已知f(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为_解析：因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0,2)上的最大值为1，当

2、x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0，得x，又a，所以00，得x，所以f(x)在上单调递增；令f(x)，所以f(x)在上单调递减所以当x(0,2)时，f(x)maxflna1，所以ln0，所以a1.答案：14已知函数f(x)(k0)求函数f(x)的极值解：f(x)，其定义域为(0，)，则f(x).令f(x)0，得x1，当k0时，若0x0；若x1，则f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，函数f(x)取得极大值.当k0时，若0x1，则f(x)1，则f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值.5(2017石家庄模拟)已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解：(1)因为f(x)a，所以fa1，故f(x)x3ln x，则f(x).由f(x)0得x1或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f(x)0f(

3、x)13ln 2从而在上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0)，由题设可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，且x1x2，则解得0a.故所求a的取值范围为.二、重点选做题1(2017昆明模拟)已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是2

4、,0)2已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为2.当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.综上所述，当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.三、冲刺满分题1已知函数f(x)(xa)ln x，g(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy30平行(1)求证：方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p

5、，q中的较小者)，求m(x)的最大值解：(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.所以f(x)(x1)ln x.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.因为h(x)ln x1，当x(1,2)时，0x(2x)(x1)21e，所以0，所以10，所以当x(1,2)时，h(x)单调递增，所以方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根(2)由(1)知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x0，且x(0，x0)时，f(x)0，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(x0，)时，h(x)0，所以当x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0,1，则m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln x10，可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为.2已知函数f(x)x2mxln x.(1)若m3，讨论函数f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x10，且f(x)x3，令f(x)0，得0x，令f(x)0，得x.因此函数f(x)在上单调递减，在和上单调递增(2)由题意知，f(x)xm，则易知x1，x2为x2mx10的两个根，且x1x2m，x1x21，所以f(x1)f(x2)xmx1ln x1xmx2ln x2(xx)m(x1x2)ln x1ln x2(xx)(x1x2)(x1x2)ln x1ln x2ln(xx)lnln.记t，由x1x2且m知0t1，且f(x1)f(x2)ln t，记(t)ln t，则(t)0，故(t)在(0,1)上单调递减由m知(x1x2)2，从而xx，即，故t，结合0t1，解得0t，从而(t)的最小值为ln 2，即f(x1)f(x2)的最小值为ln 2.

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