4系统稳定性分析

1、4 系统稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后 系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。一个不稳定系统是不能正 常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析 与设计的首要问题。所以讨论稳定性时只考虑的自由系统。Lyapunov 稳定性考虑阶自由系统：状态向量：，向量：对，若存在某一状态点，使得对所有的都为系统的平衡状态（平衡点） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数 在状态空间的原点。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以 通过坐标变换移到原点。经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈 奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。现代控制理论：用状态空间描述MIM0线性时变系统或非线性时变系 统。根据系数矩阵的特征值即系统极点的分布来判别系统的稳定性。求出 的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；求出的是“能 控不能观”、求出的是“不能控能观”、求出的是“既不能控又不能观” 部分的极点，他

2、们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不 能由传递函数求出；Lyapunov 间接法：通过求解系统的动态方程（求解困难甚至求解不 出，受到很大限制!），再根据解的性质判断系统的稳定性；Lyapunov 直接法：不通过求解系统的动态方程，只通过构造Lyapunov 标量函数直接判定系统的稳定性。4.1.1Lyapunov 稳定性定义定义 4-2（Lyapunov 临界稳定）对任意给定的“小距离”（无论多么 小的），总可以根据给定的和初始时间找到一个“半径”，只要系统初态 与平衡点的距离小于“半径”时，就有任何时状态与平衡点的距离小于给 定的“小距离”，则称平衡状态是 Lyapunov 稳定（）。如果不需根据 初始时刻来寻找“半径”，则称一致稳定（）。称多维空间距离Euclid 范数（4-2）这就是说：根据指定的小和系统的初始状态，以平衡点，以后系统的 状态就只能在指定的范围内运行，在平衡点附近振荡，称为Lyapunov临 界稳定。如果我们只根据指定的小就能划定一个半径为的范围，使系统只 能在指定的范围内运行，称为一致Lyapunov稳定图 4-1 小球的稳定性图4-2 李氏稳定

3、定义4-3 （渐近稳定，局部稳定）系统不仅Lyapunov稳定，而且， 则称平衡状态是渐近稳定（）。如果不需根据初始时刻来寻找半径，则称 一致渐近稳定。物理意义：系统状态开始在平衡点附近，则系统状态轨线最终落在平 衡点。只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点附 近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。图 4-3 渐进稳定（局部稳定）图 4-4 全局稳定图 4-5 不稳定定义 4-4 若对任意初始状态，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定 物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点定义 4-5（不稳定）对任意给定的“小距离”，无论“半径”怎么小 系统至少有一个初态，当，则有任何时候的状态与平衡点的距离大于给定 的“小距离”，则称平衡状态是不稳定（李氏不稳定）。几何意义是： 无论系统初始状态如何接近平衡点，状态远离平衡点不会回到原平衡点或 原平衡点附近。Lyapunov间接法判别稳定性定理 4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理间接法。判断平衡点的稳定性。的特征值，所对应的约当块是二维的是不稳定平衡点。，显然，当， 有是不稳定平衡点。由此不难

4、得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）*非线性系统的稳定性间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统， 必须先作线性化处理，是高阶导数项。（4-3）令，则（4-4）在系统一次近似的线性化方程基础上，Lyapunov给出如下结论：分析系统平衡的稳定性系统非线性通常有多个平衡点。令，可求出系统的平衡点：将系统在处线性化：其特征值，表明非线 性系统在处不稳定。将系统在处线性化：其特征值的实部为零，不能来判断系统在处是否 稳定。Lyapunov 直接法判别稳定性）力学原理：消耗能量能量，吸收能量能量电学原理：放电能量，充电能量，但系统能量图 4-6RC 电路的充放电过程（1）若能量变化小于零，系统渐近稳定；（2）若能量变化大于零， 系统不稳定（3）若能量变化等于零，系统“临界稳定”。分析系统（1） 电感、电容都是线性的，（例 4.1.1）；（2）电感、电容都是线性的， （例 4.1.2）；（3）电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，（例4.1.3）； RLC串联电路系统解：（1）当电感、电容都是线性的，以电感磁通和电容电荷为状 态变量，可写出状态方程，该电路无

5、外界能量输入，同时电路中没有能量损耗，图（1）时状态 方程图所以电路总能量 W 恒定。可见，系统的状态轨迹是一个椭圆。系统是稳定的，但不是渐近稳定 的。2）当电感、电容都是线性的，且，相应的状态方程为图（2）时状态方程图，电阻是耗能的，电路的总能量不断减少。设，再令初始状态为，求得方程的解为当时，故系统总能量状态轨迹图表明，从原点附近出发的状态轨迹不仅能保持在原点附近 且随着时间的推移逐渐趋向于原点，因此系统是渐近稳定的。（3）当电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，时，相应的状 态方程为此时电路无外界能量输入，电路中也没有能量损耗，所以电路总能量W恒定。图（3），时状态方程图令，得到系统的 3 个平衡点，分别是（0,0）、（1,0）。状态轨迹 图如图。纵轴交点为，横轴交点为由图看出，过原点的状态轨迹有的回到原点，也有的离开原点，因此 从原点任意小邻域出发的轨迹都不能始终保持在原点附近，因此系统在原 点处是不稳定。以上例题表明了系统能量与系统稳定性的关系。4.2Lyapunov 稳定性定理1892 年，俄国数学力学家 Lyapunov 在他的博士论文运动稳定性的 一般问题中提出了著名

6、的 Lyapunov 稳定性理论。其核心是构造一个标 量函数作为虚构的广义能量函数（Lyapunov函数）。设阶系统，平衡状态，如果存在一个对所有都有连续的一阶偏导数的 正定的标量函数定义（4-5）Sylvester 判据 Lyapunov 稳定性定理）对非线性系统，如果存 在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足以下条件若负定（，则是渐近稳定（局部稳定）；若当时，则系统是全局稳 定；半负定（，则是 Lyapunov 稳定（临界稳定）；若（不是状态方程的 非零解），则是渐近稳定（局部稳定）；正定（，则是不稳定；试确定例4.2.1）系统，a二const.平衡点的稳 定性。令求得是唯一平衡点。试取处，渐进稳定不稳定李氏稳定有连续偏导数 当，有，是稳定平衡点； 当，有，是不稳定平衡点； 当，有，是Lyapunov稳定平衡点；表明所选可判定系统稳定性，是 Lyapunov 函数。试确定平衡点的稳 定性。Lyapunov 函数法：令求得是唯一平衡点。取有连续偏导数符号不定，无法确定系统是否稳定，因此不是Lyapunov函数取有连 续偏导数，只要在的“横轴”上（不一定在原点），就有，因此是 Lya

7、punov 稳定平衡点，是 Lyapunov 函数。，但不恒等于 0（半负定）， 是渐近稳定又，因而是大范围渐近稳定。取函数：根据定理可知是渐近稳定，所以是Lyapunov函数。可见 Lyapunov函数并非唯一，无论怎样取Lyapunov，只要符合函数的条件， 能判别平衡点的稳定性，就是 Lyapunov 函数此题为线性系统，也可以采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数 矩阵为，根据 Routh 方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是稳定 的。实际上的实部0。例4-5设闭环系统如图，试分析稳定性。一即一，取，并不影响讨论系统的稳定性，故其解为这是系统。Lyapunov 函数法：设于是稳定性与输入无关，只考虑齐次方程是唯一平 衡点。试取有连续偏导数根据定理可知系统是 Lyapunov，Lyapunov 稳定在工程意义上是不稳 定的这与经典控制理论的结是的，显然，故是 Lyapunov 试分析系统平衡点的稳定性。令是唯一平衡点。试取，有连续偏导数当，在的圆上，故是Lyapunov 稳定平衡点；当，在的圆内，同上讨论，对状态方程的非零 解，故是渐近稳定平衡点；所选可判定系统稳定性，是

8、 Lyapunov 函数 其稳定域是单位圆内系统不是大范围渐近稳定的。Lyapunov函数构造方 法4.3.1 线性系统 Lyapunov 函数构造方法以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。设，取正定二次型作Lyapunov函数，即为正定对称矩阵，有（4-5）（4-6）式中：，显然，若是正定对称矩阵，则，系统是渐近稳定的，于是有 以下定理。线性定常系统渐近稳定的充要条件是，给定一个正定对称矩阵，若一 个正定对称矩阵，满足Lyapunov方程（4-7）此时 Lyapunov 函数为（4-8）矩阵只要满足正定对称，并无其他要求的任意性正表明Lyapunov函 数的不唯一性），取然后通过Lyapunov方程求解出正定对称矩阵，对阶 对称矩阵共有个独立元素，求解出这个独立元素，就可确定，计算的顺序 主子式的符号可确定对称矩阵的定号性，由此可构造出Lyapunov函数， 再根据判断系统的稳定性。Lyapunov 方程方法分析系统平衡点的稳定性。设对称矩阵求解Lyapunov 方程确定f解得：一个对称矩阵若方程无解，说明找不到对称矩阵。计算的顺序主子式的符号的正定性奇数主子式：偶数主子式：根

9、据判据，有，即是正定对称矩阵，再根据定理4-可以判别系统是 的。系统的一个 Lyapunov 函数为Matlab 软件给出了求解 Lyapunov 方程的函数，他的一般形式为P=lyap（A， Q）的解。应用Mat lab软件来判断上例的稳定性，可执行m-文件（eye（2）为2阶单位矩阵）得到进一步，由给出矩阵的特征值或者，由于矩阵所有特征值都是正的，矩阵是正定的，系统是渐进稳定。 （任何矩阵都可以通过非奇异变换成“对角元是矩阵特征值”的对角矩阵 而对角元为正的对角矩阵，矩阵必定是正定的）。在一些实际控制系统中，操作员往往需要在线调整一些参数以改善系 统的特性，然而这些参数的改变不应该导致系统的不稳定，为此需要确定 这些参数可允许调节的范围，以确保系统是稳定的。例 4-8（例 4.3.2）在保证系统是渐进稳定的情况下，确定系统增益 的可调节范围。解：，；， o由图可得系统的状态方程为考虑系统稳定性时，均可假设在用 Lyapunov 方程处理方法来判别线性时不变系统渐近稳定性时， 右边的矩阵有时也允许是半正定的，这样可以使数学运算得到简化。式中矩阵，满足半正定的充要条件，所以是半正定的。求解相应的线性方程组可得：矩阵是正定的充要条件是：，因此当满足条件时，系统在原点处是大 范围渐近稳定的。4.3.2用Krasovski （克拉索夫斯基）方法构造Lyapunov函数由上面讨论可知，若找到了 Lyapunov 函数，用直接法分析稳定性是 方便的，然而构造Lyapunov函数却成了新问题。尽管通过研究得到了一 些方法，但 Lyapunov 函数的方法。数学知识：设，那么特例：；下面介绍一种 Krasovski 方法构造函数。对系

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