数学与应用数学毕业论文-行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用.doc

1、 行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用目 录1 引言(1)2 符号说明、基本定义、性质和命题(1)2.1 符号说明(1)2.2 初等行变换(1)2.3 矩阵的行等价(1)2.4 行简化梯形矩阵和主元列的定义(2)3 行简化梯形矩阵唯一性定理的证明(2)3.1 矩阵的行简化梯形矩阵的存在性(2)3.2 证明唯一性(2)4 行简化梯形矩阵的一些简单应用(5)4.1 化矩阵为行简化梯形矩阵，并确定主元列(5)4.2 应用行化简算法解线性方程组(5)4.3 行简化梯形矩阵的唯一性的两个重要应用(7)5 与已有的证明方法进行比较(7)6 对一些文献资料的思考(8)结束语(9)致谢(9)参考文献(9)行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用（莆田学院数学系 指导教师：）摘要：行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形,也称为行标准形或行最简形.它在线性代数中有着重要的应用,在国内外很多的教材中都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的,但对此唯一性很少给出证明.本文在前人已有证明的基础上给出了另一种证明方法,并总结出了它的几个应用.通过几种证明方法间的对比,来分析本文的证明过程与已有证明方法的不同之处.最后

2、对几个文献资料进行了思考,指出了其中存在的错误,并说明了自己的一些看法.关键字：行简化梯形矩阵 唯一性 行等价 同解线性方程组 矩阵证法 Hermite标准形Abstract: Reduced echelon matrix is a form of matrix and also known as a row-canonical form or a row-easiest shape. It is very important in linear algebra. Many text books at home and abroad give the definition and application of the Reduced echelon matrix and show that it is unique, but few gives the proof for the conclusion. In this paper, we give another proof on the basis of the priors and introduce several applic

3、ations of the Reduced echelon matrix. Then by comparing to the priors, we explain the differences between them. Finally, we point out some errors in some literatures and give some comments.Keywords: Reduced echelon matrix Unique Line equivalent Linear equations with the same solution Matrix Proof Hermite Standard Form11、引言 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，在线性代数中有着重要的应用（见文1，2，3，4等），但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上.“而2中虽亦列有唯一性定理,但未给出证明,只是说:这个定理的证明是十分麻烦的,我们省略它.”1对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文1、5、6、7）,可将它们归类总结为：一类是

4、应用线性空间的知识进行证明（见文1、6、7），另一类是用矩阵证法（见文5）.这两类方法具有各自的特点.由于这两种方法所用的知识较多，不适合将它们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一.所以，寻找另一种应用工具简单、适合用于课堂进行同步教学的证明方法是非常有必要的.在深刻认识此课题的研究意义之后，现给出此唯一性的另一种证明方法.2、符号说明、基本定义、性质和命题2.1、符号说明数域 矩阵 阶单位矩阵 等价关系 矩阵的第行 2.2、初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵施行下列某个变换：(1)交换矩阵的第行和第行,记为；(对换变换)(2)用一个不等于零的常数乘矩阵的第行,记为；(数乘变换)(3)将矩阵的第行乘以一个常数，加到第行,记为.(倍加行变换)命题1（见1,定理3） 初等行变换不改变矩阵的秩.命题2(见2,定理) 对矩阵作行的初等变换，不改变列向量之间的线性关系.2.3、矩阵的行等价定义11 设，如果可以由通过有限次初等行变换得到，则称与行等价.记作.命题3(见1,定理1) 矩阵的行等价是的一个等价关系.由等价关系的定义可以得到:性质114

5、等价关系具有以下三种性质：(1)自反性：.(2)对称性：若，则.(3)传递性：若，则.2.4、行简化梯形矩阵和主元列的定义定义2(见1,定义1) 令表示数域上的所有矩阵，的任意非零的行中第一个非零元素称为这一行的“首”元素，如果矩阵满足下列条件：(1)每个首元素是1；(2)包含首元素1的每列中，其它的元素都是零；(3)每个零行（若有的话）都排在所有非零行的下面；(4)设在的第行首元素出现在列，的个非零行中首元所在列数满足，则称为行简化梯形矩阵.例如,矩阵 就是一个行简化梯形矩阵，也即是行最简形或行标准形.定义3 包含首元素1的每列中，其它的元素都是零，这些列称为主元列.首元素1所在的位置称为主元位置.命题4(见1,定理4) 矩阵的秩等于的行简化梯形矩阵中非零行的个数.3、行简化梯形矩阵唯一性定理的证明3.1、矩阵的行简化梯形矩阵的存在性命题5 中任意一个矩阵都可通过初等行变换使它行等价于行简化梯形矩阵.这个命题显然是成立的.对,先从最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置要在该列顶端,所以要在主元列中选取一个非零元作为主元,若有必要的话,对换两行使这个元素移到主元位置上.再用倍加行变

6、换将主元下面的元素变成0.暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.最后由最右面的主元开始,把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用数乘变换将它变成1.这样就可以得到的一个行等价矩阵行简化梯形矩阵.具体的证明过程可见3或4.3.2、证明唯一性命题6（唯一性定理） 中任意一个矩阵仅与唯一的行简化梯形矩阵行等价，即的行简化梯形矩阵是唯一的.记的唯一行简化梯形矩阵为.证明 设，是的两个行简化梯形矩阵，则，.由性质1，得：.由命题1，4知与的秩相同，且非零行的个数相同，令的秩为，所以，可设 (1) (2)如上所示，设和中主元列分别为，和，.1)现证因为和是行等价的，所以由命题2可知,和中列向量之间的线性关系是一样的.设其中和分别是和的列向量.若，则，.设与的线性关系是， (3)则.得到.这样可知,对都会使(3)成立.由命题2知,此时，所以.而，所以.与(3)中的为任意数矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.若，则，.设， (4)由(4),则有解得由命题2同样可知,此时，因为(4)中的,所以.而，所以.与上面(4)所得的

7、解矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.依此类推，可得：这就证明了：2）因为和是行等价的，所以存在一个阶可逆阵，使得：.设，则由(1),(2)有(5)比较(5)两边对应可得：，即，其中是矩阵，是矩阵，是矩阵.由命题1可将矩阵和进行分块变成和，则.所以因为,而中含有个主元列,所以可容易计算解得.即有这样的一个阶可逆阵存在.而，即.这就证得了唯一性. 证毕.4、行简化梯形矩阵的一些简单应用4.1、化矩阵为行简化梯形矩阵，并确定主元列化矩阵为行简化梯形矩阵的基本步骤是:(1)由最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置在该列顶端.(2)在主元列中选取一个非零元作为主元,若有必要的话,对换两行使这个元素移到主元位置上.(3)用倍加行变换将主元下面的元素变成0.(4)暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.(5)由最右面的主元开始,把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用数乘变换将它变成1.例1 把下面的矩阵用行变换化为行简化梯形矩阵，并确定主元列.解 对矩阵作初等行变换,得:.此矩阵已是行简化梯形阵,第1、2、4列是

8、主元列.4.2、应用行化简算法解线性方程组应用行化简算法解线性方程组的步骤是：(1)写出方程组的增广矩阵.(2)应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形，确定方程组是否有解.如果没有解则停止；否则进行下一步.(3)继续行化简算法得到它的简化阶梯形.(4)写出由第（3）步所得矩阵所对应的方程组.(5)把第(4)步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.例2 求出下列方程组的通解：解 对应的增广矩阵是：. 对作初等行变换，得：.由知，此方程组无解.其实在任何情况下我们都可将矩阵方程、向量方程以及线性方程组用相同的方法来求解即用行化简算法来化简增广矩阵.例如，若是矩阵，它的各列为，而，则矩阵方程与向量方程有相同的解集.它又与增广矩阵为的线性方程组有相同的解集. 所以用行化简算法来化简增广矩阵就可以求解这三种形式的问题.例3(见9,P121) 解线性矩阵方程其中,.解 对增广矩阵作初等行变换,其中.因为矩阵是一个通解矩阵(定义见9,定义2),所以,根据9,定理2, 有解且与同解.根据9,定理1的(i), 是的特解矩阵(定义见9,定义1).根据9,定理1的(ii),(iii),由的第2列和第4列构造的基础解系,得.于是的基础解阵(定义见9,定义1)为.对任意矩阵,是的通解,也是的通解.4.3、行简化梯形矩阵的唯一性的两个重要应用由文8,命题13可知有下面的两个重要应用:（1）用行简化梯形矩阵来求方程组的基础解系是唯一的，所以当题目要求用行简化梯形矩阵来求解方程组时,答案只有一个.不然线性方程组的基础解系可以不一样，这样答案就会有多个,当然它们互相等价.（2）同解线性方程组中，直接比较这两个线性方程组的行简化梯形矩阵，就可以知道这两个方程组是否同解.也就是，若这两个线性方程组的系数矩阵的行简化梯形阵相同，那么它们同解；否则两个方程组的解不同. 例4(见16,P105-106,例5.7) 设都是阶方阵,齐

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