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应用FDTD方法解决电磁辐射问题
9页1、应用FDTD方法解决电磁辐射问题自电磁场基本方程以来,电磁场理论和应用的发展已经有一百多年的历史。目前,电磁 波的研究已深入到各个领域,应用十分广泛,例如无线电波传波,光纤通信和移动通信,雷 达技术,微波,天线,电磁成像,地下电磁探测,电磁兼容等等。在各类复杂系统中的电磁 问题,主要依靠各种电磁场数值计算方法加以解决。随着电子计算机处理能力和存储容量的 巨大发展,更促进了这些计算方法在实际问题中的应用。目前在电磁场领域应用的数值算法 也是种类繁多,各有其优缺点,常用的电磁场计算方法大致有:FDTD Finite difference time domain (时域有限差分法)TLM Transmission line method (传输线法)FEM Finite element method (有限元法)BEM Boundary element method (边界元法)MoM Method of moments (矩量法)其中时域有限差分法(FDTD)理论经过30多年的发展和完善,已经成为时域电磁场数值计算 的主要方法之一,并广泛应用各类实际工程电磁场中。一、 FDTD 法简介时域
2、有限差分法以差分原理为基础,直接从概括电磁场普遍规律的麦克斯韦旋度方程出 发,将其转换为差分方程组,在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据采样。因此, 它是以电磁场问题的最原始、最本质、最完备的数值模拟。以它为基础制作的计算程序,对 广泛的电磁场问题具有通用性,因此得到了广泛的应用。1. Yee 差分算法基本原理考虑空间一个无源区域,其煤质参数不随时间变化且各向同性,由Maxwell方程组中的两个旋度方程在直角坐标系中可导出六个耦合公式:-学-PH)dyxdHdt号-PH )dzy(-.3)(-.4)旦=-VxE-H dt卩卩空=-Vx H- E dt &(-.-)(-.2)(xy 卩dydx- dHdH( z 一 y dydz- dHdHSE-PH )zQ E )x(1.5)(1.6)dzdx- dHdH(y- -xyzE其中e为介电常数(F/m);为磁导率(H/m); o为电导率(S/m); p为磁阻率(。/ m )。 按照 Yee 差分算法,首先在空间建立矩形差分网格,网格节点的空间坐标与一组相应的 整数标号一一对应:(i, j, k) = (i A x, j A y, k
3、A z)而该点的任意函数F(x,y,z,t在时刻nAt的值可以表示为Fn(i,j, k)二 F(iAx, jAy, kAz, nAt)(1.9)Ax, Ay, Az分别为矩形网格沿x, y, z方向的空间步长&是时间步长。时域差分法的实质就是将计算问题在时间和空间进行离散: 用中心差分取二阶精度:对空间离散:QFn (i, j, k)dx11Fn (i + j, k ) - Fn (i -j, k)22+ O (Ax )2Ax(-.-0)对时间离散:空(i, j, k)dt丄丄二土 j k)一厂 土 j k)+ O(At )2At(丄.丄丄)为了获得(1.10)式的精度,并满足(1.3)至(1.8),可将空间任意矩形网格上的E和H 的六个分量如图 1-1 所示放置。图 1-1 Yee 网格单元及电磁场空间离散点关系每个磁场分量由四个电场分量环绕着;每个电场分量由四个磁场分量所环绕。为获得(1.11)的精度,可将E和H在时间上相差半个步长交替计算。按照这些原则,可将式(1.3)(1.8)化为差分方程组。以(1.3)式为例,差分后得到(1.12)-Q (i + j, k )At1 A-2
4、(i + ,j, k)-En+i + j, k) =2- En (i + j, k) +x 2Q (i + -, j, k )At x 2-+T- 2 (i + -, j, k)2-1 1 - 1 1 Hn+ 2(i + -, j + -, k) - Hn+ 2(i + -, j -, k) z22z22+AyAt (i + Q, j,k)丄丄 Q (i +j, k )At丄 +2 (i + , j, k)2丄丄丄11Hn+2(i + , j, k + 了) - Hn+2(i +j, k -)y22 y222 yAz(丄.丄2)其余的也可以写出,每个网格点上的个场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的 值即该点周围临近点上另一场量在早半个时间步长时的值。因此任意时刻可一次算出一个 点,并行算法可计算出多个点。通过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。具 体参考12,这里不多叙述。2. 数值稳定性条件与网格划分数值计算中一个比较重要的问题就是数值解的稳定性问题,这在FDTD方程中取决于网 格的空间步长和时间不长的关系。数值稳定性条件以上所建立的麦克斯韦旋度方程的有限差分算式是显
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