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高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修4

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1、高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修41.1 周期现象5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗？解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？解：如图所示，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设=PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsin.3.列举自然界中存在的周期性现象.答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（）f(x)=x f(x)=2x f(x)=1 f(x)=A. B. C. D.解：f(x+T)=x+Tx，T0;f(x+T)=2x+T2x=f(x)；f(x+T)=1=f(x)；设T是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+T也是有理数；当x为无理数时，x+T也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都

2、等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x).答案：C2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几?解：158=722+4，而今天是星期一,158天后的那一天是星期五.3.我们选定风车轮边缘上一点A，点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？答案：是周期性的.4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).（1）证明：f(x+2)=，f(x+4)=f(x).（2）解：f(x)是奇函数，f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(34-1)=f(-1)=1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列现象是周期现象的有（）太阳的东升西落月亮的圆缺太阳表面的太阳黑子活动心脏的收缩与舒张A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D2.有以下现象：鸟类的迁徙；单

3、摆的简谐振动；交流电的电压变化规律；化学元素的性质.其中是周期现象的有_.答案：3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).证明：f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=-f(x)=f(x).4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x).证明：f(x+4)=f(x+2)+2=f(x).5.求证：若函数y=f(x)(xR)的图像关于x=a对称，且关于x=b对称，则fx+2(b-a)=f(x).证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).于是fx+2(b-a)=fb+(b+x-2a)=fb-(b+x-2a)=f(2a-x)=fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x),即fx+2(b-a)=f(x).6.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间2,3上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x1,2时，f(x)的解析式.解：令x-3，-2，则-x2，3，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x-3,-2.令x1，2，则x-4-3，-2，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.即当x1，2时，f(x)=-2(x-1)2+4.7.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x1，x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).（1）设f(1)=2，求；（2）证明f(x+2)=f(x).（1）解：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f()0,x0,1，故f(1)=f(+)=f()f()=f()2=2.f()=f(+)=f()2=,即f(）=.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x)=f(2+x).8.我们选定自行车车轮边缘上一点A，车轮的中心记为O，OA与竖直方向的夹角记为，当自行车沿直线做匀速运动时，变量随时间t的变化是周期性的吗？解：由其运动规律可知是周期性的.1

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