最新高考数学解题方法探讨数学破题36计1927计-高中生家园优秀名师资料
32页1、第19计 模式开门 请君入瓮计名释义数码时代就是非数学问题数学化,非数字问题数字化,非函数问题函数化,非方程问题方程化,如此等等.如何“化”法呢?这就是数学建模.数学建模是一种能力,把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式,对中学生来讲,有以下三种形式.第一,现成的模式直接拿来应用;第二,实际问题理想化,从复杂的问题中抓住主要矛盾,使之符合某种现有的模式;第三,对原始问题进行重新建构,“重新”的意思包含:对原有模型重新组合;对新问题创建新模式. 典例示范【例1】 实数x,y满足x2+(y-1)2=1,则使不等式x+y+c0恒成立的实数c的取值范围是 ( )A.-1,-1 B.-1,+)C.( +1,-1) D.(-,-1)【分析】 容易看出:x2+(y-1)2=1表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆,而x+y+c0表示直线y=-x-c即其上半平面,因而构造解析几何模型,原题转化为:当点(x,y)既在直线y=-x-c上方,又在圆x2+(y-1)2=1上运动时,实数c应满足什么条件?【解答】 如图,斜率为-1的直线y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A,B,交y轴于M,N
2、.连AB,则AB过圆心C(1,0).等腰直角三角形MCB中,CB=1,CM=,设M(0,-c),必-c=1-,得M(0,1-).当且仅当-c1-时,圆x2+(y-1)2=1 例1题解图上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c-1,选B.【例2】 正数x,y,z满足方程组,则xy+2yz+3xz的值是 .【分析】 从题目的条件看,方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式,而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】 将原方程组改写如下:,构造如图的直角三角形ABC,使AB=5,AC=4,BC=3.又在ABC内取一点P,使APB=150,APC=120,BPC=90.显然符合题设条件.SAPB+SBPC+SCPA=SABC,而SAPB=xysin150=xy,SAPC=xzsin120=xz, 例2题解图SBPC =zy=yz,SABC=6.xy+xz+yz=6,xy+2yz+3xz=24.【例3】 某城市为了改善交通状况,需进行路网改造,已知原有道路a个标段,(注:1个标段是指一定长度的机动车道),拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口,n与x满足关系n=
3、ax+b,其中b为常数,设新建一个标段道路的平均造价为k万元;新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的倍(1),n越大,路网越通畅,记路网的堵塞率为,它与的关系为=.()写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式;()若要求路网的堵塞率介于510%之间,而新增道路标段为原有道路的标段的25,求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围.()当b=4时,在()的假设下,要使路网最通畅,且造价比p最高时,问原有道路标段为多少个?【解答】 ()新建x个标段,则应建n=ax+b个道口,建x个标段需kx万元,建(ax+b)个道口需y=k(ax+b)(万元).()5%,10%,0.050.1,51+10,即4,9,又p=.p0,0,0,当4,9时,所求p的范围是:.()路网最畅通,则最小,即最大,故=9,又b=4.p=,当且仅当a=. a0,即a=4时,造价比p=为最高.满足()的条件的原有道路标段是4个.【点评】 本例属城市规划型应用题,牵涉到的数学知识虽然不变,可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、等都会成为解题的拦路
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