人教版2023--2024学年度第二学期高二数学下册期末测试卷及答案4

1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2023-2024学年度第二学期期末测试卷及答案高二 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（ ）A. B. 1C. D. 3. 已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A B. C. D. 4. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（ ）A. B. 2C. D. 5. 在数列中，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（ ）A. 1021B. 1022C. 1023D. 10246. 中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两焦点为，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为

2、定值”是“为定值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件8. 在同一平面直角坐标系中，分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若与夹角为锐角，则C. 若，则在方向上投影向量为D. 若10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 若函数的图像关于点中心对称，则B. 当时，函数过原点的切线有且仅有两条C. 函数在上单调递减的充要条件是D. 若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或11. 已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为B. 的图像关于对称C. 在上有四个零点D. 的值域为12. 已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13. 展开式中的系数为_（用数字作答）1

3、4. 已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则_15. 已知为奇函数，当，且关于直线对称.设方程正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为_.16. 在平面四边形中，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （本题满分10分）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且满足（1）求；（2）设，设数列前n项和为，若对一切恒成立，求实数m的取值范围18. （本题满分12分）记锐角的内角的对边分别为，已知.（1）求证：（2）若，求的最大值.19. （本题满分12分）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围20. （本题满分12分）已知函数为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求取值范围.21. （本题满分12分）甲乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后

4、负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3乙胜的概率为0.2.（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束概率；（3）若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.22. （本题满分12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，.若，求PQE周长的取值范围.参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. C【解析】【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.故选：C 2. D【解

5、析】【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案.【详解】因为，因为，所以z的虚部为.故选：D.3. D【解析】【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为圆的圆心坐标为，半径为如图所示，两圆相离，有四条公切线. 两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，设切线，则圆心到直线的距离，解得或，当时，切线方程为，A正确；当时，切线方程为，即，B正确；另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得，即切线方程分别为，；整理可得两切线方程为和，所以C正确，D不正确.故选：D.4. B【解析】【分析】作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可.【详解】 如图所示，AB为底面直径，是等腰三角形，由余弦定理可得，由圆锥的特征易知，取中点D，连接，显然有，即二面角为，则，故选：B5. A【解析】【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断为偶函数，根据有唯一零点知，构造法有，应用等比数列定义

6、写出通项公式并求对应项.【详解】由在上有唯一零点，而，所以为偶函数，则，故，且，所以是首项为4，公比为2的等比数列，则，则.故选：A【点睛】关键点点睛：判断导函数为偶函数，进而得到为关键.6. B【解析】【分析】化简得到，从而得到，得到，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围.【详解】，在中，故或，当时，故，不合要求，舍去，所以，因为，所以，即，因为，所以，由正弦定理得，故因为，所以，故，因为，所以，故，因为，所以，故.故选：B【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.7. D【解析】【分析】先求出轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，

7、故，故，设直线，则到该直线的距离为，故，如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，则，故，设，故，同理.设的倾斜角为，则，因为，故，所以，所以，同理，故，故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，短半轴长为，故的轨迹方程为：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.故“当取定值， 是定值”是错误的.又直线的参数方程为：，设，由整理得到：，故，而，故，所以，若为定值，则为定值，而，故当变化时，始终为定值，又故且，但，故，所以，但此时随的变化而变化，不是定值，故“当取定值，是定值”是错误的.故选：D.【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.8. B【解析】【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式借助恒成立的不等式变形，再构造函数并求出最小值作答.详解】依题意，设，因此，因为，则，即因此，令，求导得，显然函数在上单调递增，而当时，于是当时，函数递减，当时，函数递增，因此当时，令，求导得，显然函数在上单调递增，如图，函数与函数的图象有唯一公共点， 因此存在唯一，使得成

8、立，即有，且，当时，函数递减，当时，函数递增，于是当时，从而，即有，因此对任意，成立，则，所以实数的最大值为.故选：B【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. AC【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断A；根据向量夹角为锐角有，注意同向共线的情况判断B；由投影向量的定义求投影向量判断C；根据向量坐标求模判断D.【详解】若，则，解得，A正确；若与夹角为锐角，则，解得，当，此时，与夹角为，B错误；若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；由题设，D错误.故选：AC10. ACD【解析】【分析】对于A，由题意，可解的值；对于B，通过设切点利用导数求切线方程，代入原点坐标检验的方法判断；对于C，在上恒成立，分类讨论求解；对于D，利用韦达定理和差别式求解.【详解】因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以A正确时，原点在函数的图像上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为，则切线方程为，把代入可得，若，则函数过原点的切线有且仅有一条；若，则函数过原点的切线有两条，因此B不正确函数在上单调递减，（不恒等于0）在上恒成立，设，其图像对称轴为，（不恒等于0）在上恒成立，则有或或，即或或，其中且时，则，也满足，所以

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