一元整式方程

1、21.1 一元整式方程教学目标知识与技能：知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.过程与方法：经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.情感态度与价值观：通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.教学重点及难点重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.教学流程设计教学过程设计一、 问题引入11思考根据下列问题列方程：（1） 买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（2） 买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（3） 一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；（4） 一个正方形的面积的b（b0）倍等于s（平方单位），求这个正方形的边长.说明 为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了（1）、（3）两个问题，也为解含字母的一元一

2、次方程和一元二次方程埋下伏笔.2讨论你所列出的方程之间有什么区别和联系?二、 新课学习11、 归纳概念1在方程和中，是未知数;字母、是项的系数，是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.2讲解例题例题1 解下列关于的方程：(学生进行尝试性地类比解题)（1）（2）3、思考含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.说明 通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.三、问题引入2（1） 有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米

3、的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为分米，根据题意列方程；（2） 某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年的平均增长率为,根据题意列方程.说明 增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.四、 新课学习2 1、 归纳概念2如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程;其中次数大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.2讲解例题例题2 判断下列关于的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?五、 巩固练习课本练习21.1 1、2、3 六、课堂小结通过本堂课你有什么收获? 七、作业布置完成练习册21.1作业分层作业：金牌B卷33页5题教学反思：有字母系数的方程学生不会判断是否是整式方程，还有看起来有三次的方程，化简以后不一定是三次方程，学生有的没有理解清楚！21.2（1）特殊的高次方程的解法教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：

4、学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.教学过程设计一、 情景引入 1复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ； (4) =3； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？（学生口述后，教师简单小结）二、学习新课 1概念辨析（1） 一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 =0（a0）是非常特殊的n

5、次方程，它的根是0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2例题分析试一试：（学生尝试，教师讲评）解下列简单的高次方程：（1）（2）（3）（4）分析 解一元n次（n2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根.如果在实数范围内这个数的n次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.例1：利用计算器解方程（近似根保留三位小数）例2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）（1） （2）（3）（4）思考：解二项方程 （学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根. 说明 在讲解书上例题前让学生先自主尝试求解一些简单的二项方程，让学生自己发现问题，学会自主探究.（1）、（2）两小题其实是复习数的开方，而（3）、（4）两题可以转化为（1）、（2）的形式，体现了从特殊到一般的数学思想. 三、巩固练习1判断下列方程是不是二项方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）； （2）； （3）3利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）； （2）.四

6、、课堂小结1什么是二项方程？ 2解二项方程的一般步骤是什么？五、作业布置练习册：习题21.2（1）分层作业：（1）解方程（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值.（3）解二项方程：教学反思：1二项方程是特殊的高次方程，本节课从一元高次方程的概念开始引入， 通过复习一元一次和一元二次方程的概念让学生自己体会和归纳出什么是一元高次方程和二项方程.在引入时不要急着给出概念，而是给学生一段时间去思考，这样新知和旧知的衔接就能做到水到渠成.2本节课的设计充分利用了书本的教材，尊重教材、挖掘教材.在此基础上适当地对例题进行了一些改编，并给学生充分的思考时间，拥有发表意见的自由度，让他们体会知识的产生过程，使他们感受自主探究的快乐.3这节课的难点是把“整体”转化为“新”元的二项方程.在讲解书上例题时，适当降低了难度，把方程分为两个求解过程，实际是把换元的过程完整的呈现给学生，使他们加深印象.然后模仿这题的解题过程独立求解方程.这样有效的分解了教学的难点，使知识的掌握更扎实，更自然.、21.2（2）特殊的高次方程的解法 教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，

7、会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学用具准备学习单、多媒体设备教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入 1复习请同学们解下列一元二次方程：(1) (2) （解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2思考：若令,则方程变形为（1），（2）如何求解上述方程？说明以前的教学中已经提及过换元法，经过前题中一元二次方程的求解的铺垫，大部分学生都能独立解决以上两题，并可以自然过渡到新课的讲解.3观察：提问：以下哪些方程与，具有共同的特点？（1） （2）（3）（4） （5）这类方程有什么共同的特点？二、学习新课 1概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：（3）学生归纳：如何求解双二次方程？ 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2例题分析 例4：解下列方程： （1） （2） 例5：解方程 分析：

8、双二次方程既可以用换元法，也可以把看作一个整体直接求解. 3问题拓展（1）自主探究： 不解方程，判断下列方程的根的个数：（组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）； ； .分析：令0,y1y20,y1+y20 原方程有四个实数根.0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有两个实数根.0 原方程没有实数根.（2）学生归纳：你对双二次方程的根的个数有什么发现？当0时，如果y1y20且y1+y20，那么原方程有四个实数根；如果y1y20且y1+y20，那么原方程没有实数根.当0时，原方程没有实数根.说明因为双二次方程能转化为一元二次方程，所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就很容易联想到根的判别式，结合x2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况.韦达定理在这里的应用是一个难点，可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系.三、巩固练习挑战五颗星：解下列高次方程.（规则：学生选择相应的星级会得到相应的分值奖励；额外奖励：凡是做出五星级的同学可以免做回家作业.）：（1）x4+3x-10=0; (2) 3x4-2x2-1=0.：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由 说明 本挑战的题目由学生自主选择，并不要求每位学生都能完成.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3） 回代.2如何判断双二次方程的根的个数？五、作

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