上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第五章5

1、5.6 多输入系统利用能控标准型的极点配置算法如果系统（）能控，通过状态反馈u = r-Kx，可以任意配置（A -BK）的特征值多输入系统极点配置是已知能控的（A,B）和一组期 望特征值（兀兀，兀）求p X n实矩阵K，使（A-BK） 1,2,n的特征值为（兀兀,兀）。1,2,n例：假设n = 6, p = 3，计算步骤为：（i）如果系统（a,b）是能控的，假设它的能控性指 数为卩二3,卩二2小二1，则存在非奇异阵卩，以及等价1231 Y“*“11000100B = P-1B =变换x = Px，将系统变换成龙伯格能控标准型（A,B）:_ 01000000100 i0-a-a-aPP $P-13 12If 1415-_16000010PPP-a-aP2122232221 :.26P1-31P32P33P34p r35 :-a31A = P-1AP =00Y0000120Y211（ii）将n个期望特征值按卩，卩，卩分成3组，复极123点必须成对分配在同一组内，假设它们是：（兀，兀,兀），111213（兀,兀），（厂）。然后计算原系统期望的特征多项式212231A (s) = H A (s

2、)ii=1A (s) = H (s 兀)=(s3 +a s2 +a s +a )(s2 +a s +a)(s +a )iij111213212231j=1(iii)取状态反馈阵k为jYY 一1a aa aa aBBB 1112131312 1211 1114一 1516K = G -1K =01YBBa aa aBG2121222322 2221 21_ 26001BBBBa a1-31323334353131Y12Y211式中1 Y11G = 010 0取 K = G -1K ， 其目的是使B = b G，或GG000 一O00000000=BG -1 =1YYG -1 =1：001112-!吩0000：0001Y0:1021001001BG于是(A BK) = (AB K )，由于b具有如上简单形式，G GG这就便于按照对(A BK)的要求设计Kg。可得到如下形 式的(A BK):ABK=0；000 _1000a! 0001100100aa000210a311000a-120(5 40)系统的特征值则由对角线上矩阵块的特征值组成，可按照期望特征值的要求来配置。(A BK )也可以设

3、计成上三角阵或下三角阵，只要具有与式(540)相同的对角线矩阵块，它们也具有与式（540）相同的特征值。这说明多输入系统状态反馈阵 K 的选择不是唯一的。（V）求能控标准型等价变换阵P -1及P ；（vi）计算状态反馈阵K二KP-1。例 求如下系统的状态反馈阵 K ，期望极点是1 2 -1 0A=0 1 0B=0 11 030 00 0 13 1 0P1 =1 0 3P =0 0 10 1 01 0 00 100 I 0 -A = P-1AP =4 4 SB = PB =do.0 0 10 1d = 4, tt = 4, d = 1,卩 13 = 2,卩=卩=0, y = 021 22A (s) = s 2 + 2s + 21A (s) = s + 52d = 2,a - 2,d = 512112112 11 21d dd d262_K=12 12 11 1113=卩 卩dd00621 222121010_000010A BK =442262=2200010060050 0 1-2 6 2_K = KP-1 =1 0 3=0 0 60 1 0602 1660yyxxJJJ1兀X卄图 5

4、-19 系统加入状态反馈后的模拟仿真方块图5.7 状态反馈在系统综合中的其他应用5.7.1 系统镇定问题镇定问题就是对一个非渐近稳定的系统，通过状 态反馈实现渐近稳定，使系统的特征值均具有负实部。 镇定是系统用状态反馈综合的一类特殊情况，它只要 求将极点配置到左半平面，而不要求严格地配置到特 定的位置上。定理 线性定常系统x = Ax + Bu由状态反馈可镇定的充分必要条件是：系统的不能控 部分是渐近稳定的。证明：系统(A,B)是不能控的，必可对系统进行能控性结构分解，设等价变换阵为 P ，则B = PB =A = PAP -i = Ac A120 A_ 匚c能控部分为(A ,B ),不能控部分为(A ,0)。引入状态 反馈阵K ,必存在k = KP-1 =K K 1则闭环系统的特 12征多项式det (sI 一 A + BK) = det( sI 一 A + BK) r( sI 一 A + B K ) 一 A + B K =detc c 112 _c 20( A-)c=det(sI 一 A + B K ) det(sI 一 A-)c c 1c从上式可知，状态反馈只能改变系统能控部分的

5、极点， 而不能影响系统不能控部分的极点。所以为使系统的 所有极点都具有负实部，或由状态反馈可镇定的充分 必要条件是系统不能控部分是渐近稳定的。证毕。从以上分析看出，状态反馈只能配置系统能控部 分的极点，而不能改变系统不能控部分的极点。因此 如系统不完全能控，用状态反馈配置镇定系统时，应 按以下步骤进行计算。对系统(A,B)进行能控性分解，找出(A ,B )，并cc求出等价变换阵P ；1 对(A,B )求其能控标准型，以及等价变换阵ccP (如果不用能控标准型计算，就不必求P2C)；用前面介绍的方法计算能控部分的n X p状态反c馈阵K( nc是A的维数)，使能控部分的特征值均具有1 c c负实部； 将J的维数扩展为与系统矩阵A具有相同维数2cA即P02c0I式中，P是n X n非奇异阵；2系统的状态反馈阵K = K 0 P P o 例 设系统-11 0A=0-1 0B=0001 110用状态反馈镇定系统。系统的特征方程det( sI - A) = dets +1-10s10-1-10s1=(S + 1)2( s - 1)有一个特征值在左半平面，系统不稳定。用状态反馈 镇定系统：将在右半

6、平面s = 1的特征值配置到S = -1。系统能控性矩阵U = B AB A 2 B L-100rankU = 2系统不完全能控。取等价变换阵对系统作能控性分解101A = PAP-1 =111-1100-110_B = PB =10100_0 1 0_0 0Q =0 0 1P1 = Q -1 =1 0 01 0 010 1 0能控子系统：10 _10_A =c1-1B =c01我们用求解赛尔维斯特方程的方法求(A ,B )的状态C C反馈阵云12为此取F二0。可解得-1 0_ 1 - 13 一3T 是非奇异的。于是0-1 00 1-11 0 L1K 二K 0 P 二111 00 1验证：-1 1 1A - BK 二 0-1 00 00_0 0 11 0 001 0 00 1 0-1 1 1det(sI - A + BK)二(s +1)(s +1)(s +1)572 系统解耦问题解耦问题是多输入多输出系统综合的一类问题。 其目的是寻找一个适当控制，使系统实现一个输出只 受一个输入控制，一个输入也只控制一个输出，如图 5-20 所示。系统解耦方法有两种：前馈补偿器解耦和 状态反馈解耦，我们只讨论状态反馈解耦的问题。考虑能控的多输入多输出的线性定常系统x = Ax + Buy = Cx（554）式中，A是nxn阵，b是nxp阵，c是qxn阵。系统 能解耦的前提条件是p = q（555）图 5-20 解耦系统示意图即输入与输出有相同的个数。系统的传递函数阵G（s） 是px p方阵，且是严格正则有理函数阵。我们采用状态反馈和输入变换结合的控制规律，即取u Kx + Lv(556)式中，K是P X n反馈增益阵，L是p X p非奇异输入变 换阵，v是p x 1参考输入。状态反馈解耦系统的方块图如图 5-21所示，其状 态空间描述为(557)x (A - BK) x + BLv y Cx其传递函数阵为G (s) C(sI - A + BK)-i BL(558)KL由于p- q，所以g (s)是pxp严格正则有理函数阵。KLK图 5-21 状态反馈解耦系统的方块图于

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