24数值求解方法

1、2.4 数值求解方法2.4.1 概述2.4.2 有限差分法计算机模拟浅水流动起初用的就是FDM,至今其应用仍最为广泛。FDM以台劳级数 展开为工具，对水流运动微分方程中的导数项用差分式来逼近，从而在每一计算时段可得到 一个差分方程组。如差分方程组解稻,即各方程可独立求解,称为显格式,反之,若需联立 求解,称为隐格式。随着所用台劳展开式的不同,差分格式可按逼近桔度的阶分为一阶、二 阶,以至更高阶,也可按格式的性质分为中心及逆风（或偏心）格式两大类。FDM 建立在经典的数学逼近理论的基础上简单且易为人们接受,处理效率较高。使 用 FDM 要使差分方程正确反映水流的物理机制,如用中心格式来计算急流,只利用解的连 续性,在物理上是不合适的。控制微分方程表达了质量守恒与动量守恒的物理定律,而差分 方程有时不能严格保持守恒性质,数值解会出现水量、动量不平衡的守恒误差。经典 FDM 常常也不能用来正确计算间断解。通过多年研究人们总结出了建立守恒逆风差分格式的方 向。在二维情形，由于使用台劳级数展开，故FDM 一般只用于矩形或正交曲线网格。FDM通 常在计算域摄化及数值解精度方面,存在带根本性的困难。

2、2.4.3 有限元法自FEM在固体力学中显示出相对于FDM的强大竞争力以后，从70年代起开始应用于计算 水力学中。其原理是分单元对解逼近，使微分方程空间积分的加权残差极小化。由此建立 FEM方程组给出数值解。通常选择权函数和逼近用的形状函数相同，是为GalerkinFEM。 显然，当权函数在某单元内恒等于1时，加权残差即为守恒误差。如果把FDM理解为在各 网格点邻域内逼近解的话，FEM就是在整个计算域上的逼近。FEM 用于水流计算问题时，对非恒定流，每一时间步要求解一个大型线性方程组标 准FEM是隐式的），耗机时多（曾尝试用显式F夏M来提高效率）。同时，Galerktn FEM在 数学上适于求解椭圆型方程的边值问题，不适于求解以对流为主的输运问题（后来提出逆风、 最小二乘、特征耗散Gal； rkin和T叫10rGalerktn FEM等方法以求解决，但未能令人满 意）。又次， LaIerkinFEM 的性能类似中心差分格式，缺乏足够耗散，不适于计算间断，要 加上人工粘性（后提出P献rov七nerkin FEM等以求解决）。因此，FEM迄今在流动计算中 尚未得到广泛应用。2.4.4 有限

3、容积法FvM和FEM 一样将计算域划分成若干规则或不规则形状的单元或控制体。在计算出通过每 个控制体边界沿法向输入（出）的流量和动量通量后，对每个控制体分别进行水量和动量平衡 计算。便得到计算时段末各控制体平均水深和流速。因此，FvM正是对于推导原始微分方 程所用控制体途径的回归，与FDM和FEM的数值逼近相比其物理意义更直接明晰。如跨 边界通量的计算只使用时段初值，为显式FvM；反之，当涉及时段始末的值时，则为隐式 FvM。因为跨控制体间界面输运的通量，对相邻控制体来说大小相等，方向相反，故对整个 计算域而言，沿所有内部边界的通量相互抵消。对由一个或多个控制体组成的任意区域，以 至整个计算域.都严格满足物理守恒律，不存在守恒误差，并且能正确计算间断。设计FvM 格式的关键在于如何计算跨控制体界面的通量。如果采取相邻控制体形心处通量的平均便 相当于中心格式。此时，CC方式的FvM在矩形网格上，相当于二阶中心FDM格式，而 Cv方式的Fvlv和线性三角形及双线性四边形单元的Galerkzn万EM等价。但如采用特征逆 风格式计算通量，FvM便适于处理对流占优的输运问题，且在矩形网格上相当于

4、守恒逆风 FDM格式。因此，FvM能伤FEM 一样适用于任意的不规则网格（坐标用于预先计算阿格几 何特征而不影响通量算法），且着眼于控制体上的逼近，具有守恒性（将直角坐标下的守恒逆 风格式推广到一般的不规则网格），又能像MOc格式一样具有以特征（而非流速）为基础的逆 风性。并且，在具有上述优良性能的同时，处理效率与FDM相近，而远高于FEM。在此意 义上可以说，今日的FvM体现了 FEM的几何灵活性、MoC的精度和万DM的效率和 守恒性，是经典FvM与这些方法的结合。FvM由McDbnald在1971年首次用于求解二维欧拉方程，1972年被Patankar等用于 3IMPLE算法，计算恒定不可压流。但当时的FvM采用交错矩形闲格，通量计算也相当中 心格式。1977年Jamson开始应用于气流计算。此后，随着无结构网格的普及和通量算法的 改进，在FvM的实现上有很大的丰富和提高，在计算气动力学中广泛应用，十分成功。除上述四类算法外，还有两类值得提一下：语法亦已取得一定的成功，尤其在全球正 压大气在球面坐标系中的数值天气预报和全球气候模拟中显示其优点。原先主要用于计算 恒定不可压流的StM

5、PE算法及其改进（SIMPIj 配, SIMPLEC等），也被试用于浅水流动计 算，但因每一时间步均需迭代，故计算量大，且压力与流速校正所依据的线性假定也有待改 进。2.4.5 谱方法2.4.6 边界元法尽管有限元法所取得的成就与日俱增，但有限元法还不是十全十美的。改进有限元法的努力 一直在进行着，但有限元法的某些不足是无法克服的。例如有限元法需全域离散，导致问题 的自由度和原始信息量大；对无限域只能人为地取成有限域；有限元法的离散技术本身也存 在着缺陷，它把本来是连续的介质用仅在节点处连接的有限单元的集合来模拟，这样不仅带 进了离散的误差，而且在单元之间连续的要求较高时，有限单元的构造也很困难；对有限元 法的精度和可靠性也常常会提出疑问，因为对同一问题采用不同的程序计算时可能会得出不 同的结果。有限元法的不足看来只能用边界元法来弥补。边界元法仅在边界上离散，位数值计算的 维数降低一维，从而减少了问题的自由度和原始信息量。边界元法采用无限域的基本解，用 边界元法求解无限域问题可称是天衣元缝。边界元法的离散误差只产生在边界上，边界元法 中部分采用数值法，部分采用解桥式，它的准确度和可靠性已公认是高于有限元法。边界元 法在弹性力学中扎的根比有限元法还要深一些。边界元法的研究开始于五六十年代，经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没 有能够得到满意的计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一 试就灵的。较为完整的、可以实际应用的边界元法是70 年代才建立起来的。英国南安普敦 大学 ws 凶 n 和 L6Lcl 则的两篇博土论文最后奠定 7 边界元法数值技术的基础。帅 t(1975) 在三维弹性静力学问题的边界元法中 p 彻底解决了边界积分方程中含有的奇异积分的精度 问题。他用刚体位移法和退化单元法各消除积分中的一次奇异性，剩下的不带奇异性的积分， 只要用普通的高斯(GMss)数值积分法就可以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精 度得以显露出来。他的这一研究也启示人们，对边界积分方程中的积分的奇异性需要采用消 除的方法。应用普通高斯积分去求奇异积分是不会成功的c从此边界元法定上了顺利发展的 道路 c 肋年代可称是边界元法蓬勃发展和丰收的年代。

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