矩形区域上二重积分数值公式比较

1、 目录摘要2Abstract3第一章 引言4第一节 问题来源：4第二节 主要任务：5第三节 解决工具5第二章 等距网格上的二重积分复化积分公式6第一节 数值积分的基本思想6第二节 二重积分的复合梯形公式7梯形公式7复合梯形公式8二重积分的梯形公式8二重积分的复合梯形公式9第三节 二重积分的复合中点公式9中点公式9复合中点公式10二重积分的中点公式10二重积分的复合中点公式10第四节 二重积分的复合辛普森公式11插值型求积公式11辛普森公式11复合辛普森公式12二重积分的辛普森公式12二重积分的复合辛普森公式13第三章 二重积分的高斯公式与特殊区域的数值积分公式15第一节 二重积分的高斯公式15代数精度的概念15高斯求积公式的理论15高斯勒让德求积公式16二重积分的复化2点高斯求积公式17二重积分的复化4点高斯求积公式18第二节 L型区域，孔状区域的二重积分19L型区域19孔型区域19多个孔的孔型区域20第四章 数值算例22第五章 总结27参考文献28摘要数值积分在科学和工程领域中有广泛的应用。本文主要研究二重积分的数值计算，从数值积分基本思想开始，到一元函数数值积分公式，然后推导并建立

2、矩形区域上二重积分数值计算的复合梯形公式，复合中点公式，复合辛普森公式，2点高斯公式，4点高斯公式，并且推广到L型区域与孔型区域。最后使用MATLAB数学软件对以上积分公式的效果进行比较，给出不同条件下各个积分公式的优劣并给出使用建议。关键词：二重积分；数值积分公式；代数精度AbstractNumerical integration has a wide range of applications in science and engineering. In this paper, we mainly study the numerical calculation of double integrals, starting from the basic idea of numerical integration, to the numerical integration formula of one-way function, and then deriving and establishing the compound trapezoidal formula of the doubl

3、e integral calculation on the rectangular region, the compound midpoint formula, and the compound Simpson formula. 2 Gaussian formulas, 4 Gaussian formulas, and generalized to L-shaped regions and hole-shaped regions. Finally, the effect of the above integral formula is compared using MATLAB mathematics software, and the advantages and disadvantages of each integral formula under different conditions are given and the usage suggestions are given.Key words: Double integral; numerical integral for

4、mula; algebraic accuracy第一章 引言第一节 问题来源：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。在实际问题上，重积分有很多方面的应用：平面图形的面积和立体体积都可以用重积分来算，利用fx,ydxdy可以求平面图形面积，而利用：fx,ydxdy或者dv可以求立体的体积。对于密度函数是 （x,y,z）的空间物体V，可以用重积分找出物体的重心。连续物体的转动惯量和质点的引力也可以使用重积分来进行计算。重积分不仅在数学、工程、力学、统计方面有重要应用,而且在经济社会科学中也有巨大价值。例如商品的投入产出估算，股票、期货、外汇、期权的成交量，人口预测模型，与微观经济学相关的各方各面。特别是近来兴起的量化基金，使用大量的数学工具进行投资交易的量化，以获得超额的投资收益。 所以二重积分的计算也就成了一个不可避免的问题。一些简单或者特殊的函数存在原函数，那么可以找出他们的原函数，使用牛顿莱布尼兹法则来计算。但是，在现实中，大部分被积函数是找不到可以用初等函数表示的原函数，亦或是他们的原函数太过复杂，计算效率太低。对于这些函数，数值计算就成了解决问

5、题的绝佳方法。第二节 主要任务：在一元函数的数值积分中，使用复合中点公式，复合梯形公式，复合辛普森公式，2点高斯公式，4点高斯公式等积分公式，可以求得一元函数数值积分的近似解。在这篇文章中，我将把复合中点公式，复合梯形公式，复合辛普森公式，2点高斯公式，4点高斯公式推广到矩形区域上二元函数的数值积分，并且比较几种方法的精度与计算效率。说明不同原函数的情况下，上述积分公式的优缺点，并且给出应用时的建议。最后，改进积分公式，使得在L型区域与孔型区域上，也能使用数值积分公式进行数值计算。第三节 解决工具本文将应用MATLAB软件，编写矩形区域二重积分的计算程序，对一些有比较性的函数进行积分计算。MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。他有很多优势之处，例如：1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数

6、学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。本文的数值计算都在MATLAB 上进行。第二章 等距网格上的二重积分复化积分公式第一节 数值积分的基本思想在现实的一些问题中，要计算函数的积分。根据微总所周知的微积分基本定理，对于积分：abfxdx只需要计算出被积函数的原函数 F（x）,就可以使用牛顿莱布尼兹法则：abfxdx=FbF(a)然而实际情况并不这么简单，因为有非常多的被积函数（例如ex2），它的原函数不能用初等函数表示出来，所以牛顿莱布尼兹公式在计算此类积分时失效。对于另外一些函数，他们的原函数十分复杂，计算起来也非常困难（例如 fx=11+x2 ,它的原函数计算 Fa,F(b) 很复杂）。还有一些函数，他们由测量或者数值计算表格表示的时候，牛顿莱布尼兹法则就不能使用了。所以，积分的数值计算是很有必要的。由积分中值定理，在积分区间a,b上存在一点p，使得abf(x)dx=ba

7、f(p)也可以这样认为，底边长为 b-a ，高是 f(p) 的矩形面积等于所求曲边梯形面积。然而，p点的具体位置一般是不知道的，所以 f(p) 的精确值无法给出。我们把 f(p) 叫做 a,b 上的平均高度。现在，我们对平均高度 f(p) 提供近似值的计算方法，就能得到积分的数值解。我们把端点 f(a),f(b) 的算术平均值作为 f(p) 的近似值，就得到了梯形公式：abfxdx=ba2fa+f(b)我们用中点 m=a+b2 的函数值 f(m) 近似代替 f(p) ，就得到了中点公式：abfxdx=bafa+b2进一步考虑，将区间 a,b 上的一些点 xi ，赋予 f(xi) 权重，用于得到 f(p) 的近似值。我们就构造出高斯求积公式：abfxdx=i=0nAif(xi)以上的方法就是数值积分的基本思想，下面我们将展开介绍各种积分方法，并给出推导，最后推广到二元函数上面。第二节 二重积分的复合梯形公式前提假设设矩形区域 D：axb,cyd设二元函数 fx,y 连续可积则二重积分表达式为：S=cdabfx,ydxdy梯形公式由积分中值定理，在积分区间a,b上存在一点p，使得abf(x

8、)dx=baf(p)我们用端点的函数值的平均值 fa+f(b)2 作为f(p)的近似值，这样就导出一元函数梯形公式abfxdx=ba2fa+f(b)复合梯形公式把区间a,b等分为n份，等分点为 xk=a+k，h=ban , (k=0,1,2,n1)在每个子区间 xk,xk+1 (k=0,1,2,n1)上使用梯形公式，得abfxdx=k=0n1xkxk+1f(xk)dx=2k=0n1fxk+f(xk+1)+Rn(f)这样就得到一元函数复合梯形公式：Tn=2k=0n1fxk+f(xk+1)=2fa+2k=1n1fxk+f(b)二重积分的梯形公式对于二重积分：Dfx,ydxdy它由曲面 z=f(x,y) 和平面区域 D：axb,cyd围成的体积，对区域 D：axb,cyd ，把它化为累次积分：cdabfx,ydxdy对此应用梯形公式两次，即得：cdabfx,ydxdy=cdba2fa,y+fb,ydy=(ba)(dc)4fa,c+fb,c+fa,d+f(b,d)上式就是二重积分的梯形公式。二重积分的复合梯形公式在矩形区域D：axb,cyd上，推广上述复合梯形公式。对于二重积分：cdabfx,

9、ydxdy将区间a,b等分为m等份，步长 h=bam ,等分点为: xi=a+i (i=0,1,m) 。将区间c,d等分为n等份，步长 k=dcn ，等分点为:yj=c+jk (j=0,1,n)在每个被划分的小矩形区域中，使用一元函数复合梯形公式求值，再将其累加求和，得到二元函数的积分近似值cdabfx,ydxdy=j=0n1i=0m1yjyj+1xixi+1fx,ydxdy=j=0n1i=0m1k4fxi,yj+fxi+1,yj+fxi,yj+1+f(xi+1,yj+1)这就得到了二重积分的复合梯形公式。第三节 二重积分的复合中点公式中点公式我们用中点 m=a+b2 的函数值 f(m) 近似代替 f(p) ，就得到了中点公式：abfxdx=bafa+b2复合中点公式把区间a,b等分为n份，等分点为 xk=a+kh，h=ban , (k=0,1,2,n1) 在每个子区间 xk,xk+1 (k=0,1,2,n1)上，取中点。我们用 xk+1/2 代表这些中点，接在每个区间上用中点公式，就得到：abfxdx=hk=0nfxk+1/2二重积分的中点公式对于二重积分cdabfx,ydxdy将中点公式应用两次，即得：cdabfx,ydx

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