备战2024年中考-专题01 实数及其运算（讲义）（解析版）

1、专题01 实数及其运算1理解有理数的概念，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小2借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）3理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）4能运用有理数的运算解决简单的问题5了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应能求实数的相反数与绝对值6能用有理数估计一个无理数的大致范围考点1：实数的分类整数和分数统称为有理数，有理数和无理数统称为实数，实数的分类如下：按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 正分数有理数 负整数 有理数 0 负整数 分数 正分数 负有理数 负分数 负分数特别注意：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如等；（3）有特定结构的数，有规律但不循环的小数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如cos45o等；考点2：实数的相关概念1.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。原点、正方向、单位长

2、度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴上所有的点与全体实数一一对应。2.相反数：符号相反，数字相同的两个数，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别注意：数轴上表示相反数的两个点在原点两边，且到远点的距离相等，这两个点关于原点对称。0的相反数还是0。相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.相反数的非零两数商为-1，即a，b互为相反数，则= -1(a0,b0)3.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。特别注意：0没有倒数；若 a0，那么的倒数是； 若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、b互为负倒数。4.绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。考点3 科学记数法和近似数1.有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2.科学记数法：把一个数写成的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这

3、个近似数的精确到那一位。考点4 平方根、算术平方根、立方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a0时,a才有算术平方根。2.平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。3.立方根：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.考点5 实数大小比较 实数大小比较的几种常用方法：（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。（6）类别比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。考点6 实数运算1.常见的几种实数运算运算法则乘方（n个a相乘）0次幂 （）.负整数指数幂去绝对值符号,当a大于b时，=a-b;当a等于b时，=0,当a小于b时，=b-a-1的奇偶次幂-1的奇数次幂为-1，-1的偶数次幂为1.常见的开方2.四则运算法则（1）有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，

4、并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与0相加，仍得这个数.相反两数相加得0。有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a ；加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（3）有理数乘法法则：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。当负因式的个数为奇数时，乘积为负；当负因式的个数为偶数时，乘积为正。有理数乘法的运算律：乘法的交换律：ab=ba；乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（4）有理数除法法则：除以一个不为0数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.（5）乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。有理数乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。3. 有理数的混合运算法则：先乘方，后乘除，

5、最后加减，如果有括号，先算括号里面的。 考点7 简便运算拆和凑整法，如10182=（100+1）82；换差凑整法，如9982=（100-1）82；因式分解凑整法，如994.2-990.2=99（4.2-0.2）；10199=（100+1）（100-1）；分组凑整法，如840.251.25=（81.25）（40.25）【题型1：实数的分类】【典例1】把下列各数的序号分别填在相应的横线上：|3|，5，35%，0.72，0，327，2，（6），73，1.232232223（每两个“3”之间依次多一个“2”）（1）正整数：；（2）分数：；（3）无理数：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案【解答】解：（1）正整数：，故答案为：；（2）分数：，故答案为：；（3）无理数：，故答案为：1在3，3.1415，0，0.333，227，2.010010001中，有理数有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】根据有理数的概念逐一判断，即可得到答案【解答】解：3是无理数；3.1415是小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；0.333是无限循环小小数，属于有理数；227

6、是分数，属于有理数；2.010010001是无理数；即有理数有3.1415、0、0.333、227，共4个故选：C2下列各数中：13，227，0，39，0.4，4，3，无理数的个数为（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：4=2，在实数13，227，0，39，0.4，4，3中，无理数有39，共2个故选：B3把下列各数的序号填在横线上3，0，29，9，316，4.131整数：；分数：；无理数：【答案】；【分析】正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环小数叫做无理数；据此判断即可【解答】解：9=3，整数：；分数：；无理数：故答案为：；【题型2：实数的相关概念】【典例2】（2023秋惠州期中）下列四个选项中，为负整数的是（）A0B0.5C3D3【答案】D【分析】负整数即既是负数，又是整数，故可得出答案【解答】解：A0既不是正数，也不是负数，不符合题意；B0.5是负数，但不是整数，不

7、符合题意；C3为负无理数，不符合题意；D3为负整数，符合题意故选：D1.（2023秋越秀区校级期中）3的相反数的是（）A13B3C12D3【答案】B【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可【解答】解：3的相反数的是3，故选：B2如果收入20元记作+20元，那么支出10元记作（）元A+10B10C+20D20【答案】B【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案【解答】解：收入20元记作+20元，那么支出10元记作10元，故选：B3（2023娄底）2023的倒数是（）A2023B2023C12023D12023【答案】D【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案【解答】解：2023的倒数是12023故选：D4在15，38，0.15，30，12.8中，负分数的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【分析】根据负分数的定义即可求得答案【解答】解：38，12.8是负分数，共2个，故选：A【题型3：科学记数法和近似数】【典例3】（2023深圳模拟）“五一”长假期间，淄博烧烤火爆出圈，根据淄博旅游局之前统计，预计将接待800万游客，请将800万用科学记数法可以表示为（）A80010000B800104C8105D8106【答案】D【分析】利用科学记数法把大数表示成a10n（1a10，n为整数）的形式【解答】解：800万80000008106故选：D1光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数法表示为（）A193106米B193109米C1.93107米D1.93109米【答案】C【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解答】解：0.000000193米1.93107米故选：C2按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（）A2.6042.60（精确到十分位）B0.02340.02（精确到0.01）

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