高等数学讲义

1、目 录第一章 函数1第二章 极限与连续51 数列极限2 函数的极限3 无穷小与无穷大4 极限的性质及四则运算法则5 无穷的比较6 数列极限7 连续函数的运算法则8 初等函数的连续性9 闭区间上连续函数的性质第三章 导数与微分151 导数的概念2 导数的运算法则3 反函数的导数4 复合函数的导数5 隐函数的导数6 参数方程所确定的函数的导数7 高阶导数8 微分第四章 微分中值定理与导数的应用261 中值定理2 洛必达法则3 函数单调性的判别法4 函数的极值和最值5 曲线的凹凸与渐进线6 函数图形的描绘第五章 不定积分351 原函数与不定积分2 不定积分的性质3 不定积分的计算第六章 定积分401 定积分的概念2 定积分的性质3 微积分基本定理4 定积分的计算第七章 定积分的应用471 定积分的几何应用2 定积分的物理应用高等数学讲义第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解函数的概念2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.（二） 内容提要1.函数的定义(1) 函数的定义定义

2、1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域.定义2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为 ,称为对应的函数值，记为,其中，称为自变量，称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为就是一个函数.(2) 函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数

3、的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数.2 函数的三种表示方法(1) 图像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如 就是一个定义在区间上的分段函数. 用参数方程确定的函数 用参数方程 （）表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程表示. 隐函数 如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系.注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.3 函数的四种特性设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定 义图像特点奇偶性 设函数的定义域关于原点对称，若对任意满足则称是上的偶函数；若对任意满足则称是上的奇函数，既不是奇函数也

4、不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于原点对称单调性 若对任意，当时，有,则称函数是区间上的单调增加函数；当时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线; 单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性 如果存在，使对于任意满足则称函数是有界的图像在直线与之间周期性 如果存在常数，使对于任意，有则称函数是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的4 基本初等函数六种基本初等函数见下表 六种基本初等函数表函数解析表达式常函数（为常数）幂函数（为常数）指数函数（,为常数）对数函数（,为常数）三角函数反三角函数5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1求函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域:(1) ，(2) =.小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零；()在偶次根式内非负；()在对数

5、中真数大于零；()反三角函数 ，要满足；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；() 分段函数的定义域是各段定义域的并集.()求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1) ， （2） . 小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.3 建立实际问题的函数模型的方法 例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型. 小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型

6、的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式，并指明其定义域.三、学法建议1本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法.2本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高. 3从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.第二章 极限与函数一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解极限的描述性定义2了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质3会用两个重要极限公式求极限4掌握极限的四则运算法则5理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类6了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7会用函数的连续性求极限（二）内容提要极限的定义(1) 函数极限、数列极限的

7、描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号设函数在 为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限或设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限或设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限或设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限或设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限或设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限或数列的极限对于数列，若当自然数无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无穷时数列的极限，或称数列收敛于或若

8、数列的极限不存在，则称数列发散不存在（2）单侧极限与极限的关系定理的充分必要条件是的充分必要条件是（）极限存在准则单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限夹逼准则若当时，有，且，则2. 极限的四则运算法则设及都存在，则(1) ；(2) , (为任意常数);(3) 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立3 两个重要极限(1) 一般形式为（其中代表的任意函数）(2) 一般形式为 （其中代表的任意函数） 无穷小量与无穷大量（）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小例如,如果，则称当时,是无穷小量注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数（） 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” （）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量（）无穷小量的运算 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 常数与无穷小量的乘积是无穷小量（5）无穷小量的比较下表给

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