安徽省皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024届高三下学期5月三模联考数学试题 Word版含解析

1、豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024年5月3日至4日高三联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，回答非选择题时，将写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）参考数据：若，则.A. 13272B. 16372C. 16800D. 19518【答案】C【解析】【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解.【详解】依题意，故所求人数为.故选：C.2. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得z，然后求得|z|.【详解】依题意，故，故.故选：D3. 在椭圆的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的

2、三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析这三个点一定构成等腰直角三角形，所以只可能是两种特殊情形，由于结果都是满足，所以只可求出一个离心率.【详解】根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个焦点”或“两个焦点和短轴的一个端点”，可设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，这两种情况都满足，所以，即椭圆离心率为，故选：C.4. 记数列的前项和为，若，则（ ）A. 590B. 602C. 630D. 650【答案】A【解析】【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得.【详解】因为，所以，两式相减可得.由，解得，所以，满足上式，故，所以.故选：A5. 已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查排列组合与古典概型概率计算.【详解】设正方体为，则满足体积为的四个顶点只有“”和“”两种情况满足，故所求概率.故选：A6. 已知函数的图象关于直线对

3、称，则（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】B【解析】【分析】利用的图象关于直线对称，可知向左平移个单位为偶函数，再利用恒成立,知对应待定系数相等，即可解决问题.【详解】依题意，为偶函数，当时，由可知，解得，所以.故选：B7. 已知圆台的上下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解.【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：的上下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，则，解得，故所求体积之比为故选：B 8. 已知实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解.【详解】依题意，则.令，故，故当时，在上单调递增，故，则.令，则，故当时，在上单调递增，则，则.综上所述：.故选：A二多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.

4、 已知函数，则（ ）A. B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递增D. 函数在上有2个零点【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】易知的最小正周期为，所以也是的周期，则，故A正确；令，解得：，当时，所以的图象关于直线对称，故B正确；当时，则函数在上先增后减，故错误；令，故，在一直角坐标系中分别作出和的大致图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数在上有2个零点，故D正确. 故选：ABD10. 已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（ ）A. 平面B. 直线与平面所成角的正弦值为C. D. 点到平面的距离为【答案】BC【解析】【分析】连接，若平面，证得，得到，与题设矛盾，可判定A错误；过点作，根据线面垂直的判定定理，证得平面，得到直线与平面所成的角为，可判定B正确；将平面翻折至与平面共面，连接，结合，可判定C正确；根据，求得高，可判定D错误.【详解】对于A中，连接，交于点，连接，如图所示，若平面，因为平面平面，且平面，所以，因为为的中点，所以，又因为为棱上靠近的三等分点，所以矛盾，所以A错

5、误；对于B中，过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又因为四边形为正方形，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，且平面，所以平面，则直线与平面所成的角为，由题可知，所以B正确；对于C中，将平面翻折至与平面共面，且点在直线的两侧，连接，则，所以C正确；对于D中，设点到平面的距离为，则3，解得，所以D错误.故选：BC.11. 已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，则下列说法中正确的是（ ）A. 的方程为B. 已知点，则的最小值为3C. D. 若，则与的面积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于A，设，联立抛物线的方程，结合韦达定理求出即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C，设，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得 ，结合以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断.【详解】当过点时，设，联立，可得，故，解得，则，故A正确；过点向的准线引垂线，垂足分别为，点到的准线的距离，由抛物线定义可知，等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误；设，由，可得，由，可得，故

6、，同理可得，故正确；，故，注意到，可得，所以，从而与的面积相等，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合，若的所有元素之和为12，则实数_.【答案】【解析】【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解.【详解】由题意可知：且，当，则；当，则；当，则；若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；若且，则，故，解得或（舍去）；综上所述：.故答案为：.13. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于两点，点在圆上，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径为，设弦的中点为，因为，所以，且，所以，解得.故答案为：. 14. 已知，其中，且，则_.【答案】【解析】【分析】由第一个已知条件得，结合二倍角公式进一步得出，结合第二个已知条件可得关于的方程，由此即可求解.【详解】依题意，所以，所以，而，因为，故，则，则，即，则，解得，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键是得出，

7、由此即可顺利得解.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示.（1）以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差.（2）为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？男生女生评分3035评分2015（3）若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.参考数据：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）； （2）不能认为评分与性别有关； （3）不一致.【解析】【分析】（1）由题意可得，即可得的数学期望和方差；（2）求出的值，即可判断；（3）将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，求出的值，即可得结论.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知评分在的频率为，所以.所以.【小问2详解】解：依题意

8、，故依据的独立性检验，不能认为评分与性别有关.【小问3详解】解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，.所以能认为评分与性别有关，故所得结论与（2）中所得结论不一致.16. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面；（2）若点到底面的距离等于，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】（1）取棱的中点，连接，分别证得和和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取棱的中点，连接，因为，所以，又因为，由直角三角形的性质，可得，因为，所以，可得，即，因为，且平面，所以平面，又因为平面，故平面平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直与平面直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，则，所以，可得，设为平面的法向量，则，取，可得，所以，设为平面的法向量，则，取，可得，所以.所以，故二面角的正弦值为. 17. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.（1）求的极值；（2）若实数满足，记，求实数的最小值.【答案】（1）极大值为0，极小值为. （2）4.【解析】【分析】（1）根据切线方程即可求得函数解析式，再由导数求得单调区间，即可求解极值.（2）由题得到的关系式，再构造函数，由导数求得单调区间和最值，即可求得的最小值.【小问1详解】依题意，则，而，故，即，联立，解得.故，令，得或故当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，故的极大值为，极小值为.【小问2详解】由得，故，且，令，则，故当时，单

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