桥梁设计理论第九讲
8页1、第九讲 曲线梁桥计算理论第一节 概述随着高等级公路和城市高架路的大量兴建,作为道路的一部分,桥梁的位置多由平面布局控制,特别是现代城市道路网,立交设施成为分流交汇的主要手段,曲线梁桥的建造就日益增多。曲线梁桥有别于直线桥的主要特性是:(1)曲线桥外边缘弯曲应力大于内边缘,而在直线桥中无此特征;(2)曲线桥外边缘挠度大于内边缘挠度;(3)曲线桥中无论恒载还是可变荷载都会产生扭矩,“弯、扭耦合”现象在曲线桥中占重要地位。第二节 曲线梁基本微分方程及其解答一、基本假定由于曲线梁桥中存在着较大的扭矩和扭转角变形,欲把曲线梁按杆件结构力学的方法作为纯扭转理论分析,则必须符合下列基本假定:(1)横截面各项尺寸与跨长相比很小,这样才容许将实际结构作为集中在梁轴线上的曲线形弹性杆件来处理。(2)曲线梁的横截面在变形后仍然保持为平面;(3)曲线梁变形后,横截面的周边形状保持不变,即截面不发生畸变;(4)截面的剪切中心轴线与截面形心轴心相重合。一般情况下,只要跨长达到横截面尺寸的34倍以上时,第一项假定即能满足,横截面宽度可用边梁或边侧腹板之间的距离计算。严格地说,曲线梁除圆形或正方形的截面以外,变形后横
2、截面不可能仍然保持为平面,但对于混凝土结构来说,由于薄壁效应不显著,且一般箱梁的形状接近于正方形时,如果,则横截面的翘曲变形不大,故第二项假定所引起的误差在工程实际中可以忽略。鉴于曲线梁桥的半径相对来说一般均较大,因而,截面剪切中心与截面的偏离值相对于曲率半径而言是很小的,所以在实用中分析内力和变形时,作出此项假定也是可以容许的。二、符拉索夫(Vlasov)方程对于如图9-1所示弯梁,截面形心为G.C.,截面剪切中心为S.C.,通常采用沿剪切中心轴的切线方向为轴,曲线向心方向为轴,垂直于曲线平面向下为轴所组成的三维流动直角坐标系。从弯梁上截取一微段,一般地,弯梁有六种可能作用的荷载,其正方向(符合右手螺旋法则)如图9-1b。在上述荷载作用下,截面上一般会有六种截面内力,即轴力、剪力和、弯矩和及扭矩。正号内力如图9-2a、b所示。图9-1 流动直角坐标系与荷载分量a)b)图9-2弯梁微段的截面内力a)b)利用弯梁六个空间平衡条件,可以导得弯梁的六个静力平衡方程如下: (9-1): (9-2): (9-3): (9-4): (9-5): (9-6)上述六个平衡方程消去剪力项、和轴力后,可以
3、简化为如下三个方程:(9-7)(9-8)(9-9)图9-3 弯梁的位移与扭角弯梁相对于剪切中心轴(轴)的一般位移有四个,如图9-3这位移的正方向,其中、分别为、方向的位移,为截面扭角。有关弯梁的几何方程已由铁木辛柯(S.Timoshenko)导出如下:(9-10)(9-11)(9-12)(9-13)式中:为轴向应变;、分别梁段绕、轴的曲率;为梁段绕轴的扭曲率(即单位长度上的扭角)。应用弹性体材料的基本方程,可以建立起截面内力与变形之间的关系式,再将几何方程(9-10)(9-13)代入此关系式,可得:(9-14)(9-15)(9-16)(9-17)式中为弯梁截面积;、分别为弹性模量和剪切模量;、分别为绕、轴的抗弯惯矩;为绕轴的抗扭惯矩;为弯梁截面的扇性惯矩(或称翘曲常数)。将式(9-14)(9-17)及其导数表达式代入简化后的平衡方程(9-7)(9-9)即可导得描述位移、扭角与外荷载关系的弯梁基本微分方程,即符拉索夫方程:(9-18)(9-19)(9-20)从上述三个方程及有关的平衡方程、几何方程可以看出,弯梁平面内的荷载(、)、内力(、)及变形(、)与垂直于弯梁平面的荷载(、)、内力(
4、、)及变形(、)互不影响,因此,一般可以将荷载分成平面内荷载与垂直于弯梁平面的荷载两大类分别进行分析计算。实际上,第一类荷载作用下的弯梁拱的作用,可按拱的理论进行分析。第二类荷载作用下的内力分析与计算方法是本讲的重点。式(9-19)和式(9-20)均为、两个位移量与外荷载的关系。两个方程均不是独立的。因此必须联立求解。这充分反映了弯梁中弯扭耦合的受力特点。在上面介绍弯梁的约束扭转时,考虑了截面翘曲引起的翘曲扭矩。实际上,截面上还有一个表征法向应力大小的特征函数即双力矩的存在,弯梁中双力矩的表达为:(9-21)利用基本微分方程求解位移和扭角时,必须确定由弯曲和扭转两种模式表示的边界条件。常见的支承型式的边界条件列于表9-1,其他型式的边界条件也可以通过分析得出。常见的支承型式的边界条件 表9-1 位移或内力支承类型弯曲模式扭转模式固端支承0000固定铰支承0000点铰支承0000自 由 端0000三、简支超静定弯梁的闭合解由于式(9-19)和式(9-20)相互耦合,故为了求解方便,可在上述两式中通过一系列数学推演消去其中一个位移量(如),这样可得到一个不完整的独立的六阶微分方程:(9-2
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