专题——圆锥曲线定值问题

1、高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值.基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种：1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态 无关.2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例一证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;解：设M (y0 ,yo),直线ME的斜率为k(l0)，直线 MF的斜率为k,直线ME方程为yyok(x y().由yo k(xyo)，消 x得 ky2yo(iky

2、o) o解得yF1 kyoXf2(1 kyo)厂；同理1 ky,Xf1 ky 2yE yFXeXf1k2(1 ky。)kyo 1 kyo2(1 ky)2k4kyo2yo(定值)k2所以直线EF的斜率为定值k2利用消元法2、已知抛物线x2= 4y的焦点为F , A、B是抛物线上的两动点,且AF =入FBB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .证明FM -AB为定值解：由已知条件，得 F(0, 1), ZO设 A(x1, y1), B(x2, y2).由 AF =入FB , 即得(一x1, 1 y) = ?(X2, y2 1),所以X1=入21 y1 =心2 1)1 1将式两边平方并把 yi = 4X12, y2= 1X22代入得yi= fy2i解、式得 yi= y2=, 且有 XiX2 =入X= 4入y= 4,抛物线方程为y= x2,求导得y= *x所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是ii刚 ii 2ii 2y= 2Xi(x xi)+ yi,y= 2X2(xX2) + y2,即卩y = xix 4XI ,y = X2x 4x2 解出两条切线的交点 M的坐标为（2xi + x2,警

3、）=（厂，i）.f fxi + X2所以 FM -AB = (2 ， 2) (X2 xi,y2 yi)=-2)= 0所以FM -AB为定值，其值为0 利用不变因素2 2xy3、已知椭圆 牙i a b 0的离心率为e直线Iab:y ex a与x轴、y轴 分别交于点A、B, M是直线I与该椭圆的一个公共点。求证:如为定值。AB解：设AMAB,由题意得A旦,0e,B 0,a。y2x2aex2 y b2ai，得cb2b2c,aAMAB,b2eb2e，而ac / AM0,故AB解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的a2 b2,i e2 且 I2e为定值。利用辅助元#相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。二.证明动直线过定点或动点在定直线上问题4、如图，椭圆 务 占 I的两焦点Fi , F2与短轴两端点Bi, B2构成 B2FiBi为i20o,面 a b积为2J3的菱形。（I）求椭圆的方程；（2）若直线I : y kx m与椭圆相交于 M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的22圆过椭圆右顶点 A 求证：直线I过定点，

4、并求出该定点的坐标.2 2解：易得椭圆的方程为乞 143y kx m(2)由x2 y2,消去y得到433 4k2 x2 8kmx 4m2120,直线I与椭圆有两个交点,2 2 28km 4 3 4k 4m 122 2 2 248k12 m36 12 4k m 3 0设 M y1 ,N X2, y2，则有为 x?8km3 4k2x1x24m2123 4k2因为以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，所以AM AN 0,即#kx1m, y2kx?m 代入并整得1 k2 x1x2x1 x2 km 22 m401,2 4m2k3128km ,22 km4k23 4k222 m7m216km24k 0, m 2k7m2km2k, m2-k均满足判别式大于70，所以当m2k时,I : y kx 2k kx2，此时x12, y1 X22,y20，而 y14，化简整理得到，直线过定点2,0、 20, m2k 或 mk72k时，l：y kx - k k x 2 ,此时，直线过定点2,07777三.探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆 M,恒过点F(1,0)，且总与直线l:x 1相切，(I)求动圆

5、圆心 M的轨迹C的 方程；(H)探究在曲线C上，是否存在异于原点的 A(x, y,), B(x2, y2)两点,当y,y2 16时, 直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由解：(1)因为动圆M,过点F(1,0)且与直线I : x 1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线I的距离。所以，点M的轨迹是以F为焦点，I为准线的抛物线，且卫1, p 22所以所求的轨迹方程为y2 4x(2)假设存在A,B在y24X 上 ,所以，直线AB的方程：y y1上一(X Xi)，X2 Xiyi2y； yi2 (x里)即AB的方程为:y yiy2yi4(x2yi4)，y2)y (i6 4x)0 ,22即(yiy2)y yiyiy2 4x yi 即：(yi 令y 0,得x 4，所以，无论yi, y2为何值，直线AB过定点(4,0)练兵场2 2i、点P是椭圆 2 i(a b 0)上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点，a b那么kpA kpB是否为定值？思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立?22、过抛物线y2px的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，判断ifabii是否为定|CD |#值，若是定值，求出该定值。3、已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x2的焦点,4离心率等于2.55(1)(2)求椭圆C的标准方程过椭圆的右焦点作直线I交椭圆umruuur ujituurMA iAF,MB 2BF，求证 iC于A、B两点，交y轴于M点，若2为定值。2 24、已知椭圆x-2 -2 i(aa bb 0)的两个焦点分别为Fi( i,0), F2(i,0)，点 P 在椭圆上,且满足 | Ph | 2|PF2|, PFiF230，直线y=kx+m于圆x2-相切，与椭圆相交于5#A、B两点，(i )求椭圆的方程；(2)证明 AOB为定值。 易错点1, 设参时不够大胆，或者不够准确；2, 化简时存在厌烦的心态或者利用条件关系不充分#

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