《不等关系》教学设计

1、不等关系教学设计余金荣一、 教材分析 本节课为苏教版必修5第三章第一节，为不等式这一章的起始课，同时也是一节序言课，是学习这一章的基础，有统领全章的作用. 学习“不等关系”有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性，通过感受具体情境中的不等关系，可以激发学生产生用数学研究不等关系的强烈愿望，同时为进一步学习后面的内容奠定良好的基础. 学生在八年级学习了不等式、不等式及一元一次不等式的相关知识，必修1学生完成了函数与方程的学习，这是本章内容学习的知识生长点，为本节乃至本章内容的学习都提供了学习经验，同时，本章内容也是不等式知识体系的延续. 从这个角度来看，本节内容也是起到了承上启下的作用. 由此可见，本节课的教学内容是非常高的. 二、 学情分析 本节课授课对象为本校高一学生，学生进入高中已经学习了必修1与必修4，有一定的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力. 学生初中学习了不等式、不等式的性质及一元一次不等式，同时也学习了等式、函数与方程的相关知识，这为本节内容的展开提供了知识的生长点. 本校高一学生刚赴宜兴进行社会实践活动，本节课正好以此为主线串联整节内容. 三、 教学目标1

2、. 通过具体情境，知道日常生活中存在大量的不等关系；2. 以问题替代例题，学生根据实际问题会列出不等式，并解决一些简单的问题；3. 通过本节内容的学习，领会本章知识发展规律、重点研究对象和研究方法. 四、 教学重、难点教学重点：通过具体情境，建立不等式模型. 教学难点：用不等式（组）正确表示不等关系；通过类比的方法体会本章知识展开规律、重点研究对象和研究方法. 五、 教学过程1 情境创设师：这张图片展示的是初中八年级下册第七章的章头图，我们知道它是刻画生活中不等关系的重要模型. 为了更系统地研究不等关系，需要研究基本的“不等模型”. 设计意图 数学教学要立足于学生已有认知，以学生已有认知作为新知的重要生长点. 学生初中通过具体实例感知了不等关系，并且会用数学符号进行刻画，通过教材缩影的形式唤起学生的记忆，起开门见山之功效. 问题 有哪些基本的“不等模型”呢？情境1 展示部分赴宜兴社会实践的照片. 本次活动的环节之一为游览宜兴善卷洞，其中一个项目为乘坐缆车，已知缆车票价为每位50元，40人以上（含40人）可以打8折，经统计参加人数不足40人. 现在有两种购票方式：一是按照40人购团体票，

3、二是按照实际人数购票. 设人乘坐缆车，哪种购票方式花费更少？情境2 买好缆车票后，管理员给大家出了一个问题：缆车若以每人50元的价格出售门票，每周约有游客2千人，经过调查，如果采取促销方案，价格每降低1元，游客就会增加100人，若票价降低了（）元，要使公园的缆车收入大于120千元，应定在什么范围内？情境3 游玩半天后，来到餐厅，厨师碰到如下问题，我们能否解决呢？公园的绿色餐厅营养快餐由甲、乙和丙三种食物混合而成（维生素含量如下表）. 维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）总重量（单位/kg）甲300700乙500100丙300300厨师现在欲将三种实物混合成100kg的食品，要是混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设甲，乙这两种食物各取kg，kg，那么应满足怎样的关系？2 建构模型师生活动 从以上三个情境中，找不等关系词及可比较的量，然后用不等式进行表示，从而建立相应的不等模型. 通过三个问题的研究，师生共同概括研究不等模型的通式：找不等关系词可比较量用不等式表示. 设计意图 以学生社会实践为背景，串联教材中的三个实例，贴近学生的生活实际，对教材进

4、行二次处理. 通过三个情境建立一元一次不等式、一元二次不等式和二元一次不等式组的模型，从学生已有的认知出发（一元一次不等式），为本章内容的展开提供了两类新的不等模型，为后续研究做铺垫. 3 类比学习活动1 我们接触到了三个不等模型，它们和我们已经学过的什么内容有联系呢？师生活动 学习不等式，首先觉得发生关联的应该是等式. 我们学习过不等式，重点研究了不等式的性质，同时用了两种解法研究过一元一次不等式：不等式的性质及一次函数图象求解不等式. 这些都与今天学习的不等关系有着密切的联系. 设计意图 通过这一问题唤醒学生关于本章的已有认知：“等式”和“已经研究过的不等式”，这是本节课重要的知识生长点，也是本章的序幕. 师：以下，我们就顺着这一思路，回顾一下相关等式的知识. 活动2 观察两个式子和，它们一样吗？师生活动 这是等式的分类问题，是一个绝对等式，而的成立需要条件，同时也有使它不成立的等式. 也就是，等式中有两类：恒成立的；非恒成立的. 比如，在等式学习中，我们碰过恒成立的式子，研究的主要工作即为证明；对于刚刚的第二个式子正为大家熟悉的解等式问题，也就是解方程. 师：类比一下，大家觉得这

5、一章不等式我们会研究哪些内容呢？生：这一章研究的内容会和等式一样：证明恒成立的不等式和解不等式. 设计意图 通过本活动的研究将本章内容分为两个类别：解不等式与不等式证明. 这一类比也为研究方法的正迁移埋下伏笔. 活动3 等式中有性质：若，则. 那么，类比等式的性质，你能推出不等式的有关性质吗？师生活动 若，且，则. 这个问题的研究告诉我们，知识在类比迁移的过程中，应该注意其中的区别. 设计意图 学生初中学习了部分与不等式有关的简单性质，通过这一活动，可以起到复习巩固的作用. 活动4 我们通过以下图片来回顾学过一元一次不等式的研究方法. 不妨以一元一次不等式为例. 我们先构造一次函数，并作出它的图象. 在图象中，如果令，就转化为一个一元一次方程，解这个方程也就是找图象和轴的交点，这个交点为，其中叫作方程的一个解. 如果令，就变成了一元一次不等式，我们已经知道了方程和相应的函数之间的联系，那么，你怎样从图象的角度来分析不等式呢？师生活动 用函数图象求解一元一次不等式. 问题 对于情境2中得到的不等模型，也就是一元二次不等式，我们能否类比初中所学的一元一次不等式的解法来进行研究呢？师生活动

6、结合图形进行分析. 设计意图 学生通过必修1的学习已经建立起了函数与方程之间的关系，初中一元一次不等式的求解为建立不等式、函数和方程三者之间的关系提供了具体实例，为二次不等式的求解提供了基础. 通过本活动，帮助学生寻找知识生长点，总结思想方法，进行正向迁移. 问题 你能否结合以上研究过程，总结处理实际问题中不等关系的研究流程？师生活动 实际问题：不等关系分析不等关系数学问题：不等式（抽象概括）求解不等模型（类比学习，迁移）解决实际问题（还原说明，不等式刻画实际问题）设计意图 情境中阐明了本章研究“不等关系”时的基本流程：抽象出模型研究模型应用模型，通过本问题的研究旨在帮助学生巩固主要的研究流程. 4 训练巩固苏教版第74页练习5：已知糖水中有糖（），若再添加糖（），则糖水变得更甜. 试根据这个事实写出所满足的不等关系. 师生活动 实际问题：变甜（添加糖后的浓度之前的浓度）数学表达：师：以上结论，我们是从直观感知的角度得到的数学结论，你能否从理性的角度进行说明，也就是用数学的知识证实结论的正确性？师生活动 作差法进行证明. 师：“作差法”是比较大小的基本方法. 以上研究过程为我们研究恒成

7、立的不等式提供了经验，同时它也正是我们认识不等模型的过程：从生活中感受模型到建立模型，在研究模型进而解释生活现象，这也是本章研究的重点. 设计意图 通过巩固训练，让学生在研究数学模型的主要思维流程下进行思维训练，“糖水”问题的整个研究过程都可以在宏观的架构下展开，顺理成章. 另一个方面来看，本问题的研究也为“基本不等式”的学习提供经验. 5 课堂总结一个基本流程：抽象出模型研究模型应用模型；一种学习方法：类比学习；一次思维提升：感性认识理性认识. 6 课后思考1. 周长为1的正方形和圆，哪个图形的面积更大？2. 解不等式. 六、 设计说明本节课是不等式这一章的起始课，是非常典型的起始课（也称为序言课），它的教学地位是非常高的，但教材通过简单的三个情境，为学生提供三种不等模型，内容实在单薄，可谓是“位高内容薄”. 著名教育心理学家奥苏贝尔在其著作教育心理学的扉页上写着这样一句话：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学. ”这告诉我们要立足学生已有的认知，以此为学生的知识生长点. 章节的序言课是整章

8、开篇和布局的关键. 活动1的设计能够逐渐唤醒学生关于本章性质的已有认知：“等式”和“已经研究过的不等式”. 数学有三种形态：原始形态、学术形态和教育形态. 教育形态是教师经过自己的设计，将学术形态的数学知识有效激活，介于原始形态和学术形态之间，它的成功构建依赖于情境设置. 本节课的设计以学生刚刚结束的宜兴社会实践为背景，是对教材的“二次”处理，有时效性，能够激发学生的兴趣，帮助学生进一步地感受到不等关系大量地存在于生活中. 章节序言课作为一章的序言，应帮助学生大致了解本章的总体内容，帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，形成良好的知识框架. 从功能上来说，它发挥着先行组织者角色的作用. 活动2对等式进行分类，类比对不等式进行分类，也正是本章两个研究的重点，为本章研究提供了内容. 活动3的展开，是对一元一次函数研究一元一次不等式的回顾，这为学生提供了研究的方法，和研究过程中的数学思想. 这样的类比也为学生巩固和深化数学这些数学思想方法提供了契机. 本设计在具体情境研究结束以后，提供了一个巩固训练，并进行必要地总结提升，旨在帮助学生完善和优化知识结构和认知框架. 通过归纳总结帮助学生构建研究的知识结构和研究方法，一个具体的实例以此框架展开，帮助学生巩固这一框架，以形成完整的框架. 学生将零碎的知识经过整合，形成良好的认知结构，能够提高学生解决问题的水平，提升学生的数学素养和终身学习能力.

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