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放缩法在不等式

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常见问题

1、放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法

2、来解题。例4. 已知nN*，求。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。例6 设数列满足（）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，（04年重庆卷理科第（22）题）四. 利用重要不等式放缩1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7 设求证例8已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）2利用有用结论例9 求证例10 已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）例11 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）例12 已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）例13 设，求证：数列单调递增且例14 设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）五利用单调性放缩1、构造数列如对上述例7，令则，递减，有，故再如例9，令则，即递增，有，得证！2构造函数例15 已知函数的最大值不大于，又当时（）求的值；（）设，证明（04年辽宁卷第21题）例16 数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题）

3、六换元放缩例17 求证例18 设，求证.七递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明，同理例11中所得和、例12中、例13（）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。八分项讨论例19 已知数列的前项和满足（）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷）详细解析过程例1. 证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 证明：因为，同理，。所以例3. 证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。例4. 证明：因为,则，证毕。例5. 证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例6 简析本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则.例7解析此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就

4、放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例8简析由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.例9 简析本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得即法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例10 简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例11 解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例12 简析当时，即于是当时有注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；引入有用结论在解题中即时应用，是近年来

5、高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例13 解析引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。注：上述不等式可加强为简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。例14 解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论例15 解析（）=1 ；（）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例16 解析构造函数易知在是增函数。当时在递增故对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。例17简析令，这里则有，从而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例18 简析令，则，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此例19 简析（）略，（）；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。

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