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高中数学 3-2第4课时空间向量与空间距离(选学) 活页规范训练新人教A版选修2-1

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常见问题

1、第4课时空间向量与空间距离（选学）双基达标(限时20分钟)1若O为坐标原点，(1，1，2)，(3，2，8)，(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为 ()A. B2 C. D.解析由题意()(2，3)，(2，3)，|.答案D2已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在a内，则P(2，1，4)到的距离为 ()A10 B3 C. D.解析设点P到的距离为h，则h.答案D3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCa，AA12a，则D1到直线AC的距离为 ()A.a B. C. D.解析连结BD，AC交于点O，则D1Oa为所求答案D4二面角l的平面角为60，A、Bl，AC，BD，ACl，BDl，若ABACBD1，则CD的长为_解析，ACl，BDl，A，Bl.0，0，|.答案5正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E AB C的大小为30，则EF到平面ABCD的距离为_解析直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，d.答案6已知直线l过点A(1，1，2)，和l垂直的一个向量为n(3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离解(2，6，2)n(2，6

2、，2)(3，0，4)14，|n|5.点P到直线l的距离为. 综合提高（限时25分钟）7如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是 ()A. B.C. D.解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)因O为A1C1的中点，所以O(，1)，(，0)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取n(1，0，1)O到平面ABC1D1的距离为：d. 答案B8在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为 ()A. B. C. D.解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，(2，2，0)，(2，0，4)，(0，0，4)，设n(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n，n，即令z1，则平面AB1D1的一个法向量为n(2，2，1)由在n上的

3、投影可得A1到平面AB1D1的距离为d.答案C9直角ABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是_解析以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，所以(4，3，0)，(4，0，)，所以在AB上的投影长为，所以P到AB的距离为d3.答案310已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC4，BB13，则点B1到平面A1BC1的距离为_解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，(4，6，0)，(0，6，3)，(4，0，3)，(0，6，0)，设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，由解得n(1，)d.答案11已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，0)，F(，1，0)，(，0)，(1，1)，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，所以令x2，则y2，z3，所以n(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为(0，0)，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.12(创新拓展)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而(2，2，0)，(2，2，0)，(2，0，4)，(2，0，4)，EFMN，AMEF，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得取z1，得n(2，2，1)，由于(0，4，0)，所以在n上的投影为.两平行平面间的距离d.

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