大学微积分l知识点总结

1、（1）（2） 为F（3） JJl dx = ln x 1+ cxJ ax - dx =+ cC0, a 丰 1,ln aaxa为常数)J ex - dx = ex + c【第五部分】不定积分1书本知识(包含一些补充知识)原函数：F (x) =f (x), xGI,则称F (x)是f (x)的一个“原函数”。 若F (x)是f (x)在区间上的一个原函数，则f (x)在区间上的全体函数 (x) +c (其中c为常数)基本积分表1dx = J dx = x + c（aH1, a为常数）J x a - dx =- x 0+1 + cd +1-arc cot x丿+ c-arccos x 丿 + cJ .- dx = arctan x（1 + x2J . 1- dx = arcsin x（1 x2J In x - dx = x - ln x - x + c1J .- dx = ln x + 1 + x 2 勺 c1 + x2J 1/. x-dx = arcsin + ca 2 - x 2aJ 11x-dx = arctan + ca2 + x2 aaJ - dx =- lna2 - x22aJ

2、 shx - dx = chx + cJ chx - dx = shx + cd cos x-=-ln|cos x| + ccos xJ sin x - dx = -cos x + cJ cos x - dx = sin x + cJ tan x - dx = lnlcos x| + cJ cot x - dx = lnlsin x| + cJ sec x - dx = ln|sec x + tan x| + c J csc x - dx = lnlcsc x - cos x| + cJ sin2 x - dx = - - 1sin2 x + c24J cos2 x - dx = +1 sin 2 x + c24J tan2 x - dx = tan x - x + c J cot2 x -dx = - cot x - x + cJ sec2 x - dx = tan x + cJ csc2 x - dx = - cot x + c J sec x - tan x - dx = sec x + cJ csc x - cot x - dx = - csc x + c,-dx = In x

3、2 + a2 + x + cVx 2 +a 2（4）零函数的所有原函数都是c5） C 代表所有的常数函数(6)运算法则 J a - f (x) - dx = a -J f (x) - dx Jf (x) 土 g (x)】 dx = J f (x) - dx 土J g (x) - dx & 加减运算-数乘运算(7)复合函数的积分:Jftp(x)p(x)-dx = Ftp(x)+ c8)线性运算一般地，f (ax + b) - dx =丄 J f (ax + b) - d (ax + b)=丄-F (ax + b) + c aaJ f(x+b)-dx=F(x+b)+c（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的 函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法 凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性Ja 2 - x2 - dx n x = a - sin tL x2 - a2 - dx n x = a - sec tL x 2 + a 2 - dx n x = a - tan t且 J u(x) - v( x)

4、- dx 存在，贝J u (x)-v( x) - dx也存在简写为：u -dv =u - v-J v - du分部积分法：若 u = u (x), v = v( x)均可导,并有：u (x) - v (x) - dx =u (x) - v( x) -J u(x) - v( x) - dx【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应： y=f(u)功能：dy = y-du = f(u) -du说明：设函数为y = f (u)，此时如果u是自变量，贝U函数y = f (u )的微分形式为: dy = y -du = f (u) - du如果u是中间变量，即u = g (x),函数即为复合函数。自变量为x,即： y = lg(x)复合函数求导得：y = flg(x)】g(x).那么复合函数 y = fg(x)】自变量为x, g(x) = u为中间变量的微分形式为： dy = y -dx = f g(x)- g(x) - dx.因为 u = g (x), g(x) - dx = du.带入得： dy = f (u) - du11)J因此，无论u是自变量还是中间变量，均有dy = f (u) -

5、du 这称为一阶微分形式不变性。, - dx n ln- x2 + a2 + x + cYx2 +a2(12) 分段函数的积分例题说明：J maxi, x 2 )dxx2( xV -1)解：max C, x2 )= 1( -1 x 1)J max(1,x2) - dx = x + c (-1 x 1)3需要说明的一点，依据连续的原则，c ,c ,c需要调整123(13) 在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是 将其中的一次方处理到最后dx的部分。如J sin3 x - dx = -J sin2 x - d cos x(14) 在做不定积分问题时，若遇到sinx与cosx同时出现且指数不同的情况，则需 要通过三角函数公式尽量将其转化成同一次方再进行计算或将二者合并以达到 化简的目的。(15) 在计算不定积分过程中，如果单独遇至Osinx的问题，贝Jsinx = 2sinX-cosX2 2(16) 隐函数求不定积分例题说明：例题：设y是由方程y (x - y)2 = x确定的隐函数，试求J- - dxx - 3yt 3 t解法 1： 令x - y = t，贝 Ux

6、=, y =,带入。t2 -1t2 -1x 解法2： y(x- y)2 = x n (x - y)2 +1 -= 1 n (x - y)2 = cos2 dy所以1- = sin2 d y带入。所以：x = sinQ +叵；y =凹2cos2d cosd17)三角有理函数积分的万能变换公式+ t21 + t2)1 + 12- t 2 2t2J R(sin x, cos x) - dx 令 t = tan1 - 12cos x = 2其中：1 +12, t = tan 2 x T tan x =.2t1 t2sin x =、1 +12(18)某些无理函数的不定积分 无理函数中带有(根号)，变形时将整个根号变为t,即t =、区 例如:J- dx 令 t =J -1 / ) dtx x-2 x-2 2t2 + 2 2- 1仏讥 2 +1X - 1)- dt =dt =-卯丄+丄112 + 1 t2 1 丿 欧拉变换0, 令Jax2 + bx + c = t - Jax含有0,令 Jax2 + bx + c = xt - Jc对于可得：ax2 + bx + c = 12 - 2、.；atx +

7、 ax2对于可得：x =上2口t2 - a(19)其他形式的不定积分 J x - f(x) - dx = J x - df(x) = x - f(x) -f f(x) - dx = xf(x) - f (x) + c J ex - sin x- dx = A - ex - sin x + A - ex - cosx + cG寺定系数法) J x2 - ex - dx = ex (A - x2 + A - x + A L c J(b -x2 + B - x + B ) ex - dx = ex C - x2 + A - x + A L c1 2 2 1 2 3 组合法：sin xsin xI =- dx1 sin x + 2 cos xcos xcos xI =- dx2 sin x + 2 cos xI +1 = J 1 dx = x12-21 +1 = ln|sin x + 2 cos x|2.补充知识（课外补充）【例谈不定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义:若函数f（x）在区间I上连续，则f（

8、x）在区间I上存在原函数。其 中（x）=F（x）+c ,（c为某个常数），则（x）=F（x）+c属于函数族F（x）+c0 0 0f T积分号f （x） T被积函数x T积分变量f （x） - dx T被积表达式推论：若f (x)= k - f (x) - dxii i=1 则:J f (x) - dx = X k J f (x) - dxii 值得注意的问题： 第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方 法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能 够积出。i=1 (2)一般积分方法揩数代进一有理函数有理式有理函数J分解） 多项式及部分分式 之和L三角函数有理式，三角代换） j简单无理数不能用普通方法积出的积分：例如：e - x2 - dx,sin x-dx,xJ sin2 x - dxJ丄ln x-dx11 + x 4-dx-dxJ .1- k2 - sin2- x - dx(0VKV1)2、特殊类型不定积分求解方法汇总（1）多次分部积分的规律J u - v (n+1) dx = u - v (n)Juv (n) dx = u v(n) 一 u v(n-1) +J u v (n-1) dx=u v(n) 一 u v(n-1) + uv(n-2) +.+1 Ju(n+1) v dx快速计算表格:Jln+l-k；当u为门次多项式时,少叫m计算大为简便。特别, 例题:(2)对于J a Cs x + b sin x dx的积分c cos x + d sin x求解方法为：令a cos x

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