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排列组合二项式定理的教案

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1、排列组合二项式定理的教案一课标要求：1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。二命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。三要点精讲1排列、组合、二项式知识相互关系表2两个基本原

2、理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。3排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系=n(n1)(nm+1)；（3）全排列列：=n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=；（3）组合数的性质Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算。当|某|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+某)n1+n某；(1+某)n1+n某+某2；

3、（5）证明不等式。四典例解析题型1：计数原理例1完成下列选择题与填空题（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种。A81B64C24D4（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）A81B64C24D4（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有例2（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。题型2：排列问题例3（1）（2022四川理卷13）展开式中的系数为_。【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；（2）2022湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练若n展开式中含项的系数与含项的系数之

4、比为5，则n等于（）A4B6C8D10点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。例4（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。题型三：组合问题例5荆州市2022届高中毕业班质量检测（）（1）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为（C）A.3B.6C.12D.18A10种B20种C36种D52种点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合例6（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种；（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；题型4：排列、组合的综合问题例7平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。例8已知直线a某+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

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