【最新】高中数学人教A版选修41学案:第一讲 四 直角三角形的射影定理 Word版含解析
19页1、最新精品资料四直角三角形的射影定理对应学生用书P141射影(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影(2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段(3)射影:点和线段的正射影简称为射影2射影定理(1)文字语言:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项(2)图形语言:如图,在RtABC中,CD为斜边AB上的高,则有CD2ADBD,AC2ADAB,BC2BDAB.对应学生用书P14射影定理的有关计算例1如图,在RtABC中,CD为斜边AB上的高,若AD2 cm,DB6 cm,求CD,AC,BC的长思路点拨在直角三角形内求线段的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理解CD2ADDB2612,CD2(cm)AC2ADAB2(26)16,AC4(cm)BC2BDAB6(26)48,BC4(cm)故CD、AC、BC的长分别为2 cm,4 cm,4 cm.(1)在RtABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条(2)射影定理中每个
2、等积式中含三条线段,若已知两条可求出第三条1.如图,在RtABC中,C90,CD是AB上的高已知BD4,AB29,试求出图中其他未知线段的长解:由射影定理,得BC2BDAB,BC2.又ADABBD29425.且AC2AB2BC2,AC5.CD2ADBD,CD10.2已知:CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如果两直角边AC,BC的长度比为ACBC34.求:(1)ADBD的值;(2)若AB25 cm,求CD的长解:(1)AC2ADAB,BC2BDAB,.()2( )2.(2)AB25 cm,ADBD916,AD259(cm),BD2516(cm)CD12(cm).与射影定理有关的证明问题例2如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC,DGBE,F、G分别为垂足求证:AFACBGBE.思路点拨先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论证明CD垂直平分AB,ACD和BDE均为直角三角形,且ADBD.又DFAC,DGBE,AFACAD2,BGBEDB2.AD2DB2,AFACBGBE.将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角形中运用射影定理,实
3、现了沟通两个比例式的目的在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明3如图所示,设CD是RtABC的斜边AB上的高求证:CACDBCAD.证明:由射影定理知:CD2ADBD,CA2ADAB,BC2BDAB.CACDAD,BCADAD.即CACDBCAD.4RtABC中有正方形DEFG,点D、G分别在AB、AC上,E、F在斜边BC上求证:EF2BEFC.证明:过点A作AHBC于H.则DEAHGF.,.又AH2BHCH,DEGFBEFC.而DEGFEF,EF2BEFC.对应学生用书P15一、选择题1已知RtABC中,斜边AB5 cm,BC2 cm,D为AC上一点,DEAB交AB于E,且AD3.2 cm,则DE()A1.24 cmB1.26 cmC1.28 cm D1.3 cm解析:如图,AA,RtADERtABC,DE1.28.答案:C2已知直角三角形中两直角边的比为12,则它们在斜边上的射影比为()A12 B21C14 D41解析:设直角三角形两直角边长分别为1和2,则斜边长为,两直角边在斜边上的射影分别为和.答案:C3一个直角三角形的一条直角边为3
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