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线性代数简介
8页1、什么是线性代数线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线 性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。它的研究对 象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代 数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几 何,线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非 线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学 中。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度 作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散 度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样(虽然 dy/dx 在数学上不过是一 个符号,表示包括/%的极限的长式子,但导数本身是一个强有力的概念,能使我们 直接而创造性地想象物理上发生的事情)。因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种 语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经
2、证明这两个概 念是数学物理上高度有用的工具。线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空 间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶, 因若当的工作而达到了它的顶点1888 年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向 量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射 的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择。 不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著 地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。由于它的简便,所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说,线性代数具有特 殊的地位此外它特别适用于电子计算机的计算,所以它在数值分析与运筹学中占有重要地 位。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。主要理论成熟于十九世纪,而第一块基石(二、三元线性方程组的解法)则早在两千年 前出现(见于我国古代数学名著九章算术)。 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重
3、要应用,因而它在各种代数分支中 占居首要地位; 在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无 不以线性代数为其理论和算法基础的一部分;。 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及 严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用 的; 随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间 的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题 又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维 空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易 想象 n 维空间中的向量,这样的向量(即 n 元组)用来表示数据非常有效。由于作为 n 元 组,向量是 n 个元素的“有序”列表,大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。 比如,在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值(GNP)。当所有国 家的顺序排定之后,比如
4、 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚),可以 使用向量(v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8)显示这些国家某一年各自的GNP。这里,每个国家 的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念,向量空间(线性空间)属于抽象代数的一部分,而 且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有: 不可逆线性映射或矩阵的群,向量 空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色,特别在 向量分析中描述高 阶导数,研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的,比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另 一个线性空间(也可以是同一个线性空间),保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所 有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的,所有线性 变换都可以表示为一个数表,称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究(包括行列式和 特征向量)也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题-那些表现出线性的问题是最容易被解决 的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非
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