应重视构建数学模型解决实际问题

1、应重视构建数学模型解决实际问题（一）应用意识是素质教育的重要组成部分。应试教育是为升入高一级学校的入学考试服务的教育，即为应付升学考试的教育。随着社会的发展，市场的竞争必然加剧，应试教育培养下的只会依照固定题型才会解题的学生的毕业出路愈来愈成问题，应试教育的弊端日益暴露，计算机及相应数学软件、因特网等信息技术的迅速发展也向数学学习与研究的模式以及数学教学模式提出了质疑。应试教育的效果尽管决非一无是处，但这种教育的方法不能激起绝大多数学生的强烈求知欲和激情，反而导致学生学习上的消极应付，终日为考试而学习。同时一切有利于提高学生能力的资源不能得到充分的利用。学生的想象力、创造力不仅不能发挥，反而常常受到压抑，高分低能的现象相当普遍。近几年来，国家教育部针对教育现状多次提出了学校教育要从应试教育向素质教育转变。素质教育的主要目的是全面提高学生的综合素质。当然，素质包含很多方面，就数学来说，一个很突出的方面是应用意识的培养。我们可以设想一个具有强烈应用意识的学生，他无论走到哪儿无论碰到什么问题，他都会看一看、问一问、想一想，这里有没有与数学有关的问题？如果有，我是否了解这是一个什么样的数学问题

2、？我能否用已学过的数学知识、方法去解决它？动手做一做，若不能用已有知识和方法解决它，那么我能否自己找参考书寻求恰当的解决方法，或者应该去问老师或请教专家？不断总结，经过总结的优秀品质不断得到培养，强烈的求知欲就油然而生，而且由于是实际问题的驱动，必须有一种实事求是的学风。（二）何谓数学模型：数学的发展很大程度上是由数学的应用所推动的，实际生产与生活中所涌现的各种数学问题，要求从数学理论上寻找合理的解决方法。数学模型法是在各门学科中应用数学的主要方法，因而受到各方面的重视。近几年，人们一再研究数学模型法的教育意义，提出培养中学生的“建模思想”、“建模能力”的问题。所谓数学模型，是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。这里所说的数学结构，有两个方面的具体要求：一方面，这种数学结构，必须是一种纯关系结构，也就是必须经过数学抽象，舍弃与关系无本质联系的一切属性；另一方面，这种数学结构，必须是借助于数学概念和数学符号来描述的结构形式。（四）构建数学模型培养创造性思维能力。（1） 建模激发学生学习动机：人们在解决问题时，往往带有感情和

3、处于某种动机状态，而这些状态又必然会影响“问题解决”的效果。动机是促使人去解决问题的动力。动机愈有意义，为“问题解决”而作的探索就愈积极愈顽强。通过带有趣味性，能引起学生思考的实际问题的分析、解剖，引导学生建立相应的数学模型，选择适当的方法解决问题，从而达到激发学生的学习动机的目的。例1在足球比赛中，海牛队边锋从万达队球门附近带球过人，沿禁区左边线向前推进。已知球门（两柱）宽b米、球门柱距禁区左边线a米，想一想，边锋推进到距离底线多远处射门，可有最大的入射范围角？足球是大多数学生感兴趣的群众运动，他们中有一大批球迷，不但关心足球的输赢，而且对足球技战术的运用也很有研究。问题一提出，就引起了热烈的讨论，课堂气氛十分活跃。笔者于是就提出了这样一个问题：我们如何将这个问题转化为数学问题呢？学生们在引导下建构了如下的数学模型，并作了解答：（如图）设海牛队边锋在禁区左线位置C，距底线距离为x，即CD=x，并设球门AB=b，禁区线到球门柱距BD=a，再设入射范围角ACB=,BCD=,ACD=+,且，。有基本不等式当m，nR+时，有。由此推得。当即时tg最大。又，tg为该区间上的单调增函数，入射角最

4、大。然后将标准足球场的a，b值代入。当边锋队员沿禁区左边线方向前进，在距底线约16米处起脚射门，有最大的入射角为13。（2）通过建模培养学生的直觉思维能力直觉思维与逻辑思维是相辅相成的。传统的数学教学比较强调逻辑思维的作用，而往往忽视直觉思维是逻辑思维的基础，某种程度上决定逻辑思维的方向。爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉”。通过将实际问题转化为数学问题构建数学模型培养学生的直觉思维能力是一种有效的途径。例2红星林场原有林地a公顷，由于重视植树造林，绿化河山，保护环境，预计第1年林地面积增加200%，以后每一年增长率是前一年增长率的一半。同时，每年砍伐木材损失林地占当年林地面积的10%。试问：该林场的林地面积是否是逐年增加的？若是，给出证明；若否，从哪年起林地面积开始下降？分析：假设逐年林地面积依次为：第1年：第2年：第k年：于是，便产生了这样的直觉判断：每年拥有的林地面积构成一个数列。通过分析，类比，观察，表明解决问题的关键在于直觉感知该数列的特征及内在联系。从a1，a2，a3，直到ak，每年新增林地在增加，但因砍伐而使林地面积减少的量也在增加，当减少的量与新增量相等时，林地面积处于

5、平衡状态。一旦砍伐量超过新增量时，林地面积就开始下降。显而易见，该问题是一个数列问题，可构建数列模型只要找出数列的通项公式an，比较an与an-1的大小即可知道哪一年林地面积开始减少。易知： 当n6时，。即ananl。从第6年开始林地面积开始下降。（3）通过建模培养学生的发散思维能力通过对实际问题给出的材料信息，从不同角度，向不同方向，用不同的方法或途径进行思考和分析，构建数学模型，寻求超常规，求变求异的思维方式和解决问题的方法，以培养学生创造性思维能力。例5建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为多少元？根据题目情境，经分析，解剖，可将问题抽象为函数问题，即建立函数模型设池长为xm，由已知条件，池底面积为，则池宽为，那么水池总造价y为：引导学生向各个方向思维，寻求解决问题的多样性，变异性，培养他们的发散思维能力学生们作出了如下的解答解法一：应用求函数最值的方法平均不等式均值定理来解决。根据ab（），即有48012801760元池的最低造价为1760元 解法二：将函数转化为方程，利用判别式来解决。 y xy=解得y1760元。池的最低造价为1760元。解法三：求出函数的一阶导数：。令0，解得x2。当x=2，y取得最小值640=1760（元）。池的最低造价为1760元。21世纪即将来到，展现在我们面前的是一个无限美好的未来，同时未来也充满了各种各样的挑战和竞争。人类已经进入了以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代，进入了一个技术以惊人速度发展的时代。在这样的时代里，人们普遍认识到：经济竞争的关键是科学技术的竞争，科学技术竞争的关键是人才培养的竞争，而人才培养的竞争的关键是教育的竞争。传统教育的内容与形式在许多方面已经不能完全适应科学和技术的迅速发展，教育的改革迫在眉睫。因此，我们在教学中应当充分重视对学生进行理论联系实际和数学知识、数学思想、数学方法的应用方面的训练，不仅要教会它们数学知识，还要以数学知识为载体，培养学生的创造精神，使他们能够自觉的应用数学的思想和方法去分析、观察、理解和解决问题，具有迎接未来社会竞争的能力。

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