机械最优化设计及其应用实例

1、机械最优化设计及其应用徐华伟（三峡大学机械与材料学院2009106130）摘要：机械优化设计是将数学规划理论、计算机技术、最优化原理与方法和机械设计相结合的一项 新的科学技术。它是一门综合性的学科，具有丰厚的理论和应用价值，是解决复杂设计问题的一种 有效工具。它是以最优化理论和方法为基础，以计算机为运算工具从众多的设计方案中寻找出最优 的机械设计参数的一种现代设计方法。因此，优化设计可以形象的表示为：专业理论+数学规划+计 算机技术。优化设计其内容包括：最优化问题基础知识、一维探索、无约束最优化问题的求解方法、 约束最优化问题的求解方法、多目标函数的优化设计方法、遗传算法简介、最优化方法在压力加工、 机构设计、拟合公式中的应用等。其在工程设计中的应用如：具有独立悬挂汽车的双桥转向机构的 最优化设计、内燃机连杆结构的最优化设计、凸轮机构的最优化设计、汽车变速器的最优化设计、 弹簧的最优化设计、制动器的最优化设计、离合器盖结构形状的最优化设计等等。关键词:设计机械最优化目标函数变量约束常规的设计方法进行工程设计，特别是当影响设计的因素很多时，只能得到有限候选方案中的 最好方案，而不可能得到

2、众多可能方案中的“最优设计方案”优秀的工程设计人员总是准备好几种 候选设计方案，再从中择其“最优”，如此这样才会让所设计的项目达到更精。然而，由于设计时间 和经费的制约，所设计的候选方案的数目会受到很大限制。“最优化设计”是在现代计算机广泛应用 的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或 “自动探索”方式在计算机上进行的半自动或自动设计以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的 一种现代设计方法。其设计原则是最优设计，设计手段是电子计算机及计算程序，设计方法是采用 最优化数学方法。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程 造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来使之有更多 的精力从事创造性的设计并大大提高设计效率。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计是 60年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使 设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。现代设计都是面向市场，实现功能及产品

3、优势的设计、创新设计、绿色设计、优化设计、可靠 性设计等现代设计方法备受国内外机械设计领域的关注，而机械的优化设计与机构设计、机械传动 设计和机械强度设计共同组成了机械设计的内涵。机械优化设计是建立在近代应用数学、物理学、 应用化学、应用力学和材料学和计算机程序设计之上的，是解决复杂设计问题的一种有效工具，机 械优化设计是把机械设计与优化理论及方法密切结合起来去处理机械设计问题，工程实用价值大， 机械优化设计的研究和应用工作更为活跃，应用领域更加的广泛，涉及到航空航天、工程机械、通 用机械与机床、水利、桥梁、船舶、汽车、铁路运输行业、通讯行业、轻工纺织、能源工业、军事 工业、建筑机械、石油及石化行业、食品机械等诸多方面，主要处理那些具有复杂结构系统的设计， 如飞机机身、飞机结构整体、火箭发动机壳体、航空发动机轮盘、潜艇结构、潜艇外部液压舱、机 器人等，或大规模的工程建设，如建筑、桥梁、石油钻井井架、大型水轮机结构等，或产量大的汽 车车架、悬挂、车身、箱形梁结构、起重机、装载机、平面或空间桁架结构、各类减速器、制动器、 圆锥、圆柱齿轮、连杆机构、凸轮机构各类弹簧/轴承等。一般说来对于工程

4、设计问题所涉及的因素 愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计反映出人们对于设计规律这 一客观世界认识的深化。设计上的“最优值”是指在一定条件各种设计因素影响下所能得到的最佳 设计值。最优值是一个相对的概念，它不同于数学上的极值 但在很多情况下可以用最大值或最小值 来表示。“最优化”是每一个设计者所追求的目标。任何一项设计都需要根据设计要求合理选择设计方 案来确定各种参数，以达到最佳的的设计目标，如质量、材料、结构、性能、成本等各个方面的优 化。对于设计人员来说，他们总愿意用最优化的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最好的 使用性能和最低的材料消耗与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。机械设计是机械工 程的重要组成部分，是决定机械性能最主要的因素。一项机械产品的设计，通常要经过调查分析、方案拟定、技术设计、零件工作图绘制等环节。 传统设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算、经验类比或实验来确定初始设计 方案。然后，根据初始设计方案的设计参数进行强、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是 否满足设计指标要求。如果不完全满足性能指标的要求，

5、设计人员将凭经验或直观判断对参数进行 修改。这样反复进行分析计算性能检验一一参数修改，直到性能完全满足设计指标的要求为止。 整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是性能的重复分析，至于每次 参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。机械优化设计基本思路是在保证基本机械性能的基础上，借助计算机，应用一些精度较高的力 学、数学规划方法进行分析计算，让某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数， 使某项或几项设计指标（外观、形状、结构、重量、成本、承载能力、动力特性等）获得最优值。 机械优化设计的过程：分析设计变量，提出目标函数，确定约束条件，建立优化设计的数学模型； 选择适当的优化方法，编写优化程序；准备必须的初始数据并上机计算，对计算机求得的结果进行 必要的分析。随着现代数学规划理论的不断发展和工作站计算能力的不断挖掘，机械优化设计方法和手段都 有非常大的突破且优化设计思路不断的开阔，仿生学理论、基因遗传学理论和人工智能优化等现代 设计理论的引入，都大大促进优化设计方法的更新和完善。优化设计工作中，针对具体设计问题是 否选择了合

6、适的优化方法，相应的计算程序是否有效，数学模型构造是否合理，能否充分反映实际 问题且尽量简化，这些都直接关系到优化设计进程和机械设计结果。最优化设计工作包括两部分内容：一是将设计问题的物理模型转变为数学模型，简历数学模型 时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。二是采用适当的最优化方法，求解数学模型， 在约束条件下求解目标函数的极值或最优值问题。一、最优化设计分析1、机械优化设计的过程设计变量选择，在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其 主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题注意各设计变量应相互独立，避免耦合情况 的发生。目标函数与约束的确定，目前尚无一套完整的评价方法来检验哪些约束是必须，哪些约束 是可忽略的，通常是凭经验取舍，不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。数学模型确立，数 学模型越精确，设计变量越多，维数越大，建模越复杂，优化进程越慢；但数学模型忽略过多元素， 则难以确切凸现结构的特殊之处。所以，要结合工程实际和优化设计经验，把握与研究目标相关程 度大的因素，尽可能的建立确切、简洁的数学模型。数学模型的尺度变换，因各设计变量、

7、各目标 函数、各约束函数表达意义的不同，将可能使得各自在量级上相差很大，从而导致在给定的搜索方 向上各自的灵敏度差距也很大。为消除这种差别，可以对其进行目标函数尺度变换，使它成为无量 纲或规格化的设计变量，设计变量尺度变换和约束函数的规格化，以提高优化进程，提高结果进度， 加快收敛速度。优化程序中易忽略的问题，注意检验变量是否在函数定义域内，防止无效变量生成 而导致优化计算失败；注意函数表达式中分母出现非常小或等于0情况的处理，避免数值溢出；用 函数值的数值差分计算梯度，尽量避免函数与导数值之间的不一致性，优化软件的应用。2、最优化设计中目标函数的数学分析目标函数泰勒表达式的展开，往往将原目标函数在所讨论的点附近展开成泰勒多项式，用来解 答原函数。目标函数的方向导数和梯度，考察函数与自变量的关系，即函数相对于自变量的变化率， 包括沿某一指定方向的变化率和最大变化率，所以就要用到方向导数和梯度。无约束目标函数的极 值条件，无约束优化问题一般归结为求目标函数的极大值极小值问题，一般先求出若干极值点，再 通过比较来确定全局最优点。目标函数凸集与凸函数、凹函数，由函数极值条件所确定极小点X*，

8、 是指函数f(X)在点X*附近的一切X均满足不等式f(X) f(X*),由函数极值条件所确定的极小值只是 反映函数在X*附近的局部性质。优化设计问题中目标函数的局部极小点并不一定就是全局极小点， 只有在函数具备某种性质时，二者才能等同。目标函数的约束极值优化问题，约束最优点不仅与目 标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。在存在约束的条件下，为了要满足约束条 件的限制，其最优点不一定是目标函数的自然极值点。最优化设计的数值计算方法迭代法及其 收敛性，在机械优化设计的实际问题中，采用解析法求解很困难，在实际应用中，则广泛采用数值 方法来直接求解。数值方法中常用的是迭代法，这种方法具有简单的迭代格式，适用于计算机反复 运算，通常得到的最优解是一个可满足精度要求的近似解。3、常用的一维搜索最优化方法搜索区间的确定，先确定探索区间即最优步长所在的单峰区间，区间内目标函数应只有一个极 小值；再在此区间内求最优步长使目标函数达到最小常用外推法和进退法。切线法，即牛顿法，用 切线代替弧逐渐逼近函数根值的一种方法。Fibonacci法与黄金分割法，二者都属于应用系列消除原 理的直接探索方法。

9、系列消除原理是在探索区间内，选取计算点计算函数值并进行比较，消除部分 区间，以缩短探索区间。Fibonacci法又称分数法，其特点是在每次确定区间内计算点的位置时，采 用Fibonacci数组成的分数作为区间的缩短系数。黄金分割法它每次缩短的比例是相同的为0.618.二 次插值法与三次插值法，二次插值法又称为近似抛物线法，三次插值法又称为微分法，都属于利用 多项式逼近的近似法即曲线拟合方法。平分法即是取具有极小点的单峰函数的探索区间的坐标中点 最为计算点，计算目标函数在该点处的导数，并利用函数在极小值点处的导数为零而在其左侧为负、 右侧为正的原理，来判断极小点所在的那一半探索区间，消掉另一半区间，逐次迭代，求得极小点 的近似解。格点法又称为全面搜索法，将已确定的搜索区间均分为几个区间，计算目标函数在等分 点处的函数值，作出比较，求得目标函数的近似极小值。4、无约束多维问题的最优化方法坐标轮换法通过每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行一维搜索，并依次轮换进行一维 探索的坐标轴，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。最速下降法就是采用使目标函数值下降 得最快的负梯度方向作为探索方向，来求目标函数的极小值。牛顿法就是一种收敛速度很快的方法， 其基本思路是利用二次曲线来逐点近似原目标函数，以二次曲线的极小点来近似原目标的极小点并 逐渐逼近该点。共轭梯度法是逐次利用一维探索所得极小点处的最速下降方向生成共轭方向。共轭 方向法及其改进 Powell法，不需要对函数作求导计算，只计算它的函数值即可直接求出用于搜 索的共轭方向。变尺度法是公认的求解无约束极值问题最有效的算法之一。单纯形法只需要计算目 标函数值，无需求其导数，因此计算比较简单，其几何概念也比较清晰。这类方法适用于不知道目 标函数的的数学表达式而仅知道其具体算法的情况，这也是直接法的一个优点。Hooke-Jeeves直接搜 索法，它与Powell法都属于模式探索方法，前者的程序简单，当变量数较少时比较有效，适应性较 强。但是在每轮探索中包括了依次沿坐标轴的移步，其收敛速度虽比坐标轮换法有所改善，但仍然 较慢。同样不适作“模式性移动” Rosenbrock法又称转轴法能将坐标系转动一个角度再进行探索， 比坐标轮法显然提高了效

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