高三数学一轮复习必备精品第7讲函数模型指导应用

1、 20092010学年度高三数学人教版A版第一轮复习资料第7讲 函数模型与其应用一【课标要求】1利用计算工具，比拟指数函数、对数函数以与幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等的实例，了解函数模型的广泛应用。二【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护与数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。预测2010年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。1题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；2题目涉与的函数多以根本初等函数为载体，通过它们的性质单调性、极值和最值等来

2、解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象三【要点精讲】1解决实际问题的解题过程1对实际问题进展抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标与函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并复原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括复原说明运用函数性质2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：1阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；3求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大小值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用四【典例解析】题型1：正比例、反比例和一次函数型例1(2009卷理)

3、本小题总分为12分两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查明确：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.1将y表示成x的函数；11讨论1中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？假如存在，求出该点到城A的距离;假如不存在，说明理由。A B C x 解法一:1如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为2,令得,所以,即,当时,即所以函数为单调减函数,当时,即时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二: 1同上.2设,如此,所以当且仅当即时取=.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)

4、上为增函数.设0m1m2160,如此,因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,如此因为1600m1m2400,所以49160160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取=,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:此题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和根本不等式研究函数的单调性等问题.2某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进展了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进展预测：1如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；2如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数万公顷

5、解析：1由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象将x=1，y与x=2，y，代入y=kx+b，求得，b=0，所以yxxN。因为原有沙漠面积为95万公顷，如此到2010年底沙漠面积大约为15=98万公顷。2设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得x0.6(x5)=90，解得x=20年。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和根本性质，我们要结实掌握。特别是题目中出现的“成正比例、“成反比例等条件要应用好例2(2009卷理)本小题总分为13分某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 试写出关于的函数关系式； 当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 设需要新建个桥墩，所以 由知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间64，64

6、0为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小题型2：二次函数型例3一辆中型客车的营运总利润y单位：万元与营运年数xxN的变化关系如表所示，如此客车的运输年数为时该客车的年平均利润最大A4 B5 C6 D7x年468万元7117解析：表中已给出了二次函数模型，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点4，7，6，11，8，7，如此。解得a=1，b=12，c=-25，即。而取“=的条件为，即x=5，应当选B。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。例42009八中某造船公司年造船量是20艘，造船艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3单位：万元，本钱函数为C(x)=460x+5000单位：万元，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。求利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)；提示：利润=产值本钱问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？求边际利润函数MP(x)单调递减时x的取值围，并说明单调递减在此题中的实际意义是什么？解 P

7、(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(xN*,且1x20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275，(xN*,且1x19).当0x12时0,当x12时，0.x=12，Px有最大值.即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大MPx=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,所以，当x1时，MPx单调递减，x的取值围为1,19，且xN*是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少 例52008理21函数有三个极值点I证明：；II假如存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值围。解：I因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设如此 当时，在上为增函数; 当时，在上为减函数; 当时，在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. 当或时,最多只有两个不同实根. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故. II由I的证明可知，当时,有三个极值点. 不妨设为，如此 所以的单调递减区间是, 假如在区间上单调递减，如此, 或, 假如,如此.由I知，,于是 假如,如此且.由I知， 又

8、当时，; 当时，. 因此, 当时，所以且即故或反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值围是.题型3：分段函数型例62009省某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效的策略,分流出一局部员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?解 设重组后,该企业年利润为y万元.20001%=20,当0x20且xN时,y=(2000-x)(3.5+1-x=-5(x+)+9000.81. x20005%x100,当20x100且xN时,y=(2000-xxx+8919. 当0x20时,有y=-5(x+-52+9000.81=8820.81,当且仅当x=,即x=18时取等号,此时y取得最大值. 当20x100时,函数y=-4.9595x+8919为减函数,所以y20+8919=8819.81. 综上所述x=18时,y有最大值8820.81万元.即要使企业年利润最大,应安排18名员工待岗.例72008，17本小题总分为12分某单位用2

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