高考数学广东专用文科大一轮复习配套课时训练:第八篇 平面解析几何 大题冲关集训(五)含答案
11页1、大题冲关集训(五) 1.(2013广东广州高三毕业班第二次综合测试)经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程;(2)证明:BAD=CAD.(1)解:法一设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|.整理得x2=4y.所以轨迹M的方程为x2=4y.法二设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线.且其中定点F(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=x2,则y=x.设点D(x0,),由导数的几何意义知,直线l的斜率为kBC=x0.由题意知点A(-x0,).设点C(x1,),B(x2,),则kBC=x0,即x1+x2=2x0.因为kAC=,kAB=.由于kAC+kAB=+=0,即kAC=-kAB.所以BAD=CAD.2.(2013广东六校第二次
2、质检)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点分别为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P,证明:为定值.(O为坐标原点)(1)解:依题意得a=2,b=c,b2=2,故椭圆方程为+=1.(2)证明:C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM的方程为y=(x+2),即y=x+y0,代入椭圆方程得(1+)x2+x+-4=0.解得x1=-,y1=x1+y0=,即=(-,),=-+=4(定值).3.(2013河南洛阳一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k0)的交点为A、B,求OAB面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有=b,所以b=.又e=,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3
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