专题3.2 幂函数图象求值-2020-2021学年高一数学重难点专项突破真题精选（人教A版2019必修第一册）（解析版）

1、专题3.2 幂函数图象求值重难点知识讲解一.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值,得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等二.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地,函数yxa（aR）叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是yxa,其中a是常数2.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0,+）上都有各自的定义,并且图象都过点（1,1）（1）当a0时,幂函数yxa有下列性质：a、图象都通过点（1,1）（0,0）；b、在第一象限内,函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内,a1时,图象开口向上；0a1时,图象开口向右；d、函数的图象通过原点,并且在区间0,+）上是增函数（2）当a0时,幂函数yxa有下列性质：a、图象都通过点（1,1）；b、在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象开口向上；c、在第一象限内,当x从右趋于原点时,图象在y轴上方

2、趋向于原点时,图象在y轴右方无限逼近y轴,当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴（3）当a0时,幂函数yxa有下列性质：a、yx0是直线y1去掉一点（0,1）,它的图象不是直线3.五个常用幂函数的图象和性质（1）yx； （2）yx2； （3）yx3； （4）y； （5）yx1yxyx2yx3yyx1定义域RRR0,+）x|x0值域R0,+）R0,+）y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,+）时,增x（,0时,减增增x（0,+）时,减x（,0）时,减大众点（1,1）（0,0）（1,1）（0,0）（1,1）（0,0）（1,1）（0,0）（1,1）4.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0,+）都有定义,并且函数图象都通过点（1,1）（2）如果a0,则幂函数的图象过点（0,0）,（1,1）,并在0,+）上为增函数（3）如果a0,则幂函数的图象过点（1,1）,并在（0,+）上为减函数（4）当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数真题解析一 选择题（共10小题）1（2020浙江）下面4个图象都是幂函数的图象,函数的图象是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】由幂函数的性

3、质可知,函数的图象在上单调递减,则AC错误；令,因为,所以函数为偶函数,则D错误；故选：B2（2020海南月考）函数（,）与的图象如图,则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【参考答案】D【解析】由图可知,单调递增,则；单调递减,则,A：0不一定成立,如；B：不一定成立,如；C：不成立,的；D：,成立3（2019河北运河沧州市一中月考）已知幂函数的图象过点和,则实数m的值为（ ）ABC3D【参考答案】D【解析】设,依题意可得,所以.所以.故所求实数.故选：D.4（2020安徽合肥月考（理）已知,则,的大小关系为（ ）ABCD【参考答案】B【解析】由在上是减函数得,且,而,故选：B5（2019安徽一模（文）已知函数,函数的一个零点为,令,则函数是（ ）A奇函数且在上单调递增B偶函数且在上单调递减C奇函数且在上单调递减D偶函数且在上单调递增【参考答案】B【解析】函数的零点,即为的根,由或解得,或,即,则,函数是偶函数且在上单调递减.故选：B.6（2019上海市七宝中学月考）若幂函数（,且、互素）的图像如图所示,则下列说法中正确的是（ ）A、是奇数且B是偶数,是奇数,且C是偶数,是奇数,且D

4、、是偶数,且【参考答案】C【解析】将分数指数式化为根式,由定义域为,值域为知为奇数,为偶数,故排除A、D,又由幂函数,当时,图像在第一象限的部分下凸,当时,图像在第一象限的部分上凸.故选：C7（2020全国）函数 的图象关于x轴对称的图象大致是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数的图象可看作由的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将的图象关于x轴对称后即为选项B.故选：B8（2020辽宁沙河口大连八中期中）已知幂函数,若,则的取值范围是（ ）ABCD【参考答案】C【解析】由题意得,幂函数在上单调递减,所以由,得,解得,故选C.9（2020湖南天心长郡中学）幂函数的图象经过点,若,则下列各式正确的是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】设,则,即,函数在上是减函数,故选B10（2020云南省陆良县第八中学期末）函数是幂函数,且在上是减函数,则实数（ ）A2B3C4D5【参考答案】A【解析】由于为幂函数且在区间上为减函数,故,解得.故选：A.二 填空题（共5小题）11（2020宁津县第一中学期末）已知是奇函数,且当时,.若

5、,则_.【参考答案】-3【解析】因为是奇函数,且当时,又因为,所以,两边取以为底的对数得,所以,即12（2020浙江衢州期末）已知幂函数过点,且,则实数的取值范围是_.【参考答案】；【解析】解：幂函数过点,解得,幂函数显然,是奇函数,且在上单调递增,即 ,解得,故参考答案为：13（2019广东增城中学期中）幂函数在为增函数,则的值为_.【参考答案】【解析】由幂函数在为增函数,则,解得.14（2019长沙市明德中学月考（文）已知幂函数的图象过点,且,则实数的取值范围是_【参考答案】【解析】因为幂函数的图象过点,所以,即,解得因为是偶函数,所以.又在上单调递减,在上单调递增,所以,得,解得：或故参考答案为：.15（2019江苏如皋期中（文）已知函数（常数）为奇函数,且在上是减函数,则的值为_.【参考答案】1【解析】解：根据幂函数的性质,要使得为奇函数,则为奇数,在上是减函数,解得：,.故参考答案为：1.三解析题（共5小题）16（2020浙江）已知在区间上,函数与都是减函数,试求的取值范围.【参考答案】.【解析】因为幂函数在上单调递减,所以,解得,又因为二次函数开口向下,且对称轴为,所以,解

6、得,综上,当满足,即时,函数与在区间上都是减函数.故实数的取值范围是.17（2019涡阳县萃文中学月考）已知幂函数的图象过点.（1）求函数的解析式,并求出它的定义域；（2）试求满足的实数的取值范围.【参考答案】（1）；定义域为.（2）【解析】（1）设,代入点得,解得,即.故函数的定义域为.（2）由于的定义域为,且在上递增,由已知可得故的范围是.18（2020陆良县联办高级中学）已知幂函数的图象过点,且（1）试求出函数的解析式；（2）讨论函数的单调性【参考答案】（1）；（2）是区间上的单调递增函数【解析】（1）设,因为图象过点,所以,函数的解析式为；（2）,定义域为,设,则,又,是区间上的单调递增函数19（2019凤阳县第二中学期中（文）已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）由为幂函数知,得或.当时,符合题意；当时,不合题意,舍去.所以；（2）,令在上的最小值为.当,即时,所以.又,所以不存在；当,即时,所以.又,所以；当,即时,所以.又,所以.综上可知,的取值范围为.20（2020上海虹口上外附中期末）已知幂函数（实数）的图像关于轴对称,且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若,求实数的取值范围.【参考答案】（1）,； （2）.【解析】（1）由题意,函数（实数）的图像关于轴对称,且,所以在区间为单调递减函数,所以,解得,又由,且函数（实数）的图像关于轴对称,所以为偶数,所以,所以.（2）因为函数图象关于轴对称,且在区间为单调递减函数,所以不等式,等价于且,解得或,所以实数的取值范围是.知识改变命运1

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