数值分析实验指导2012

1、数值分析实验指导2012 年 8 月实验一 误差分析实验 1.1(病态问题) 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。 对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问 题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非 线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法 来解决，当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空 间等)。问题提出：考虑一个高次的代数多项式p(x) = (x -1)(x - 2)(x - 20) =(x - k)(1.1)k=1显然该多项式的全部根为1,2,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该 多项式的一个扰动p( x) + xi9 = 0(1.2)其中是一个非常小的数。这相当于是对(1.1)中x 19的系数作一个小的扰动。我们希望比较(1.1)和(1.2)根的差别，从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏 感性。实验内容:为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数:“roots”和“poly”。 u = roots(a)

2、其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设a的 元素依次为a ,a，,a ，则输出u的各分量是多项式方程1 2n+1a xn + a xn-1 + + ax + a = 012nn +1的全部根；而函数b=poly(v的输出b是一个n+1维向量，它是以n维向量v的各分量为根的多项式的系数。 可见“ roots”和“ poly”是两个互逆的运算函数。ess = 0.000000001;ve = zeros(1,21);ve(2) = ess;roots( poly(1: 20) + ve)上述简单的MATLAB程序便得到(1.2)的全部根，程序中的“ess”即是(1.2) 中的。实验要求：(1) 选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数e很小，我们自然感觉(1.1 )和(1.2)的解应当相 差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰 动敏感性如何？(2) 将方程(1.2)中的扰动项改成ex 18或其它形式，实验中又有怎样的现 象出现？(3) (选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将

3、方程(1.2)写成展开的形式，p( x,a)二 x 20 oxi9 + 二 0(1.3)同时将方程的解x看成是系数a的函数，考察方程的某个解关于a的扰动是 否敏感，与研究它关于a的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象， 哪些根关于a的变化更敏感？思考题一：(上述实验的改进)在上述实验中我们会发现用 roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你 可以考虑用符号函数solve来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号 多项式的函数poly2sym，函数的具体使用方法可参考MATLAB的帮助。思考题二：(二进制产生的误差)用MATLAB计算蹩0.1-100。结果居然有误差！因为从十进制数角度分析, i=1这一计算应该是准确的。实验反映了计算机内部的二进制本质。 思考题三：(一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子) 可以用下列式子计算自然对数的底数1 e = e1 = l i m(1 + ) n n这个极限表明随着 n 的增加，计算 e 值的精度是不确定的。现编程计算1f (n) = (1 + -)n与exp值的差。n大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中 n的原因吗？相关MA

4、TLAB函数提示：poiy(a)求给定的根向量a生成其对应的多项式系数(降序)向量roots(p)求解以向量p为系数的多项式(降序)的所有根poly2sym(p)将多项式向量p表示成为符号多项式(降序) sym(arg)将数字、字符串或表达式arg转换为符号对象syms arg1 arg2 argk 将字符arg1,arg2,argk定义为基本符号对象 solve(eq1)求符号多项式方程eq1的符号解实验12误差传播与算法稳定性实验目的：体会稳定性在选择算法中的地位。误差扩张的算法是不稳定的，是我 们所不期望的；误差衰减的算法是稳定的，是我们努力寻求的，这是贯穿本课程 的目标。问题提出：考虑一个简单的由积分定义的序列J*1 xnex-i dx, n =1,2显然 I 0, n 二 1,2,.部积分易得J1 xex-1dx 二 1/e0。而对于n工2时，利用分I = J1 xnex-1dx = xnex-1 |1 -J1 nxn-1ex-1dx 二 1 nl , n 二 2,3,.n 0 0 0n -1另一方面，我们有-J1 皿 xndx二1/(n +1)实验内容：由以上递推关系，我们

5、可得到计算序列 In 的两种方法。(I) I 二 1/e,I 二 1 nI ,n 二 2,3,1nn-11-EE = 0, E =n, n = N, N 1, N 2,.3,2（II）： Nn-1n实验要求：（1）分别用算法（I）、（II）并在计算中分别采用5位、6位和7位有效数字， 请判断哪种算法能给出更精确的结果。（2）两种算法的优劣，与你的第一感觉是否吻合。请从理论上证明你实验得出 的结果，解释实验的结果。算法（I）中的11的计算误差为e1，由11递推计算In的 误差为7；算法（II）中In的计算误差为爲，由IN向前递推计算In （ N的误差为。如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其他误差， 试给出 与气的关系和n与N的关系。（3）算法（I）中通常e1会很小，当n增大时，en的变化趋势如何？算法（II） 中n通常相对比较大，当n减小时，误差 n又是如何传播的？也就是说比较一 下上述两个算法，当某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减还是扩张的。（4）通过理论分析与计算实验，针对算法（【）和（II ）的稳定性，给出你的结 论。实验二 插值法实验 2.1(多项式插值的振荡现象

6、)问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日插值 中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，L (x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出一个例子是n极著名并富有启发性的。设区间-1,1上函数11 + 25 x 2实验内容：考虑区间-1,1的一个等距划分，分点为x = 1 +, i = 0,1,2, ,nin则拉格朗日插值多项式为Ln(x) = 丫 1Z25x2 i(x)i=0j其中的l (x),i = 0,1,2,n是n次拉格朗日插值基函数。i实验要求：(1)选择不断增大的分点数目n=2,3，画出原函数f(x)及插值多项式函数L (x)在-1,1上的图像，比较并分析实验结果。n(2)选择其他的函数，例如定义在区间-5， 5上的函数h( x) =,g (x) = arctan x1 + x 4重复上述的实验看其结果如何。(3)区间a,b上切比雪夫点的定义为b a2(2k 1加c o sI 2(n +1),k = 1,2,，n +1 丿以x ,x,x为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结1 2n+1果。

7、实验 2.2(样条插值的收敛性)问题提出：多项式插值是不收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。对 样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，但通过本 实验可以验证这一理论结果。实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增 加插值节点的个数。考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用 MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。实验要求：(1)随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。分 析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。(2)样条插值的思想是早产生于工业部门。作为工业应用的例子考虑如下问 题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：xk012345678910yk0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29yk0.80.2思考题一：(二维插值)在一丘陵地带测量高程,x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。 试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。一一一x100200300400

8、100636697624478200698712630478300680674598412400662626552334相关MATLAB函数提示:plot(x,y)作出以数据(x(i),y(i)为节点的折线图，其中x,y为同长度的 向量subplot(m,n,k) yi=interpl(x,y,xi) pp=spline(x,y)将图形窗口分为m*n个子图，并指向第k幅图 根据数据(x,y)给出在xi的分段线性插值结果yi 返回样条插值的分段多项式(pp)形式结构pp=csape(x,y, 边界类型，边界值)生成各种边界条件的三次样条插值yi=ppval(pp,xi)pp样条在xi的函数值ZI=interp2(x,y,z,xi,yi) x,xi为行向量，y,yi为列向量，z为矩阵的双线性二维插 值ZI=interp2(,spline)使用二元三次样条插值ZI=griddata(x,y,z,xi,yi) x,y,z均为向量(不必单调)表示数据，xi,yi为网格向量 的三角形线性插值(不规则数据的二维插值)实验三 曲线拟合实验 3.1 钢包问题炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢液及炉渣对包衬耐 火材料的侵蚀，使其容积不断增大。经试验，钢包的容积与相应的使用次数的数 据列表如下：使用次数X容积y使用次数x容积y2106.4211110.593108.2612110.605109.5814110.726109.5016110.907109.8617110.769110.0019111.1010109.9320111.30选用双曲线丄= +b-对数据进行拟合，使用最小二乘法求出拟合函数，作出拟合曲线图。实验3.2(曲线逼近方法的比较) 问题提出：曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各 自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。实验内容：考虑实验2.1中的著名问题。下面

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