131单调性与最大小值

1、中学数学教材学习讲义(必修1)人教A版 主编：贾广素第1.3.1节 单调性与最大(小)值NBA火箭队中锋姚明身高到底多少？2米26！相信这一点大家不难回答.我们也可以相信姚明并不是从一出生就是2米26的，他也是随着时间的增加而逐渐长高的！那么姚明的身高与时间有什么关系呢?他们之间的关系如果用数学语言又该如何描述呢?研习教材重难点研习点1. 增函数与减函数1.增函数与减函数的概念（重点）一般地,设函数的定义域为:增函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数(increasing function).如右图所示.减函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数(decreasing function).如右图所示.从增函数的定义可以看出, 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（如右图），当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数.函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”

2、“都有”这几个关键词语.另外,在某个区间上的两个自变量与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的，而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式：设，那么（1）在是增函数；在是减函数；（2）在是减函数.2单调性与单调区间（难点）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:函数的单调区间是其定义域的子集；增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言.有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性. 因此说函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念.应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如右图中，在那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“, ”改为“ 或,”即可；定义的内涵与外延：内涵:是用自变

3、量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.思考：函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数在区间D上单调”与“区间D是函数的单调区间”这两句话,你认为一样吗?【辨析比较】 单调区间的书写要求 由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数.例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.事实上，若取，有，这是不符合减函数的定义的.典例1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区

4、间端点的取舍要合理,图（1）中 f(x)的单调区间有,(1,0),.其中在 和 上是减函数,在(1,0)和 上是增函数.图（2）中 g(x)的单调区间有和,其中在和 上都是减函数.以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？3单调性的判断与证明（难点）用定义法判断或证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的方法步骤：(1) 任取x1，x2D，且x1x2；(2) 作差f(x1)f(x2)；(3)变形（通常是因式分解和配方）；(4) 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；(5) 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.【梳理总结】 判断函数的单调性常用的结论（1）函数与的单调性相反；（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（

5、增）函数；（7）设，若在定义域上是增函数，则、都是增函数，而是减函数.典例2. 讨论函数的单调性.【研析】定义域 x|-1x1 在-1,1上任取x1,x2且x1x2则,从而-= = 另外，恒有若-1x1x20 则 x1+x20 则- 若 x10 则- 在-1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数.4.复合函数的单调性关于复合函数的单调性.如果函数在区间上定义,若为增函数, 为增函数,则为增函数; 若为增函数, 为减函数,则为减函数; 若为减函数, 为减函数,则为增函数; 若为减函数, 为增函数,则为减函数.关于分段函数的单调性.若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件: 【梳理总结】 从图象上看出函数的单调性 利用图像判断函数的单调性时，如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的，那么就说函数在这一区间上是增函数，这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是下降的，那么就说函数在这一区间上是减函数，这个区间就是它的单调递减区间.典例3.已知若试确定的单调区间和单调性【研析】该

6、题考察了复合函数的单调性.要记住“同向增、异向减”的规则.函数的定义域为R，分解基本函数为和.显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的.且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为.研习点2.函数的最大值与最小值最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有f(x)M； 存在x0I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最小值.注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）.【探究发现】 判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值; 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值: 如果函数y=f(x)在区间a，b

7、上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 典例4.当时，求函数的最小值【研析】函数图象的对称轴为方程为从而当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，从而探究解题新思路 基础思维探究题型一 单调性的判断典例1.判断下列函数的单调性：(1); (2).【研析】(1) ,其图象如右图所示:由函数的图象可知,函数在上是增函数,在上是减函数.(2) ,其图象如右图所示:由函数的图象可知,函数在、上是增函数，在、上是减函数.【总结与点评】研究函数的单调性的方法主要有图象法、定义法以及利用已知函数的单调性，数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想.本题中所给出的两个小题的函数式中均含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性.【拓展变式】1.判断函数的单调性.题型二 单调性的证明典例2. 利用单调性的定义证明函数在（，+）上是减函数.【研析】证法一:对任意

8、，即，是减函数.证法二: 对任意当时，有当时，有，即，是减函数.证法三: 对任意当时，有，又，即，在（-，0上是减函数.同理，在0，+）上是减函数在（，+）是减函数.反思领悟 用定义证明函数单调性时，应注意证明的四个步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.【拓展变式】2. 讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性题型三 求函数的单调区间典例3. 设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，判断并证明f（x）在其单调区间上的单调性.【研析】在定义域内任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有当x1x2b或bx1x2时函数才单调当x1x2b或bx1x2时f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数反思领悟 本小题主要考查了函数单调性的基本知识.对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间. 解决本类问题的关键在于利用单调性的定义，在验证函数的单调性的同时加以判断【拓展变式】3. 讨论函数f（x）=（a）在（2，+）上的单调性，并加以证明题型四 复合函数的单调性典例4.求函数的单调区间.【研析】由得函数的定义域为设,从而当时,函数是增函数,而函数为单调增函数,故是函数的单调增区间;当从而当时,函数是减函数,而函数为单调增函数,故是函数的单调减区间.思维指南 本题说明了判断复合函数单调性的方法,即若为增函数,则复合函数的单调性与的单调性一致;若为减函数,则复合函数的单调性与的单调性相反;即“同增异减”.另外,在判断复合函数的单调性时,一定要求注意函数的定义域.【拓展变式】4.求函数的单调区间.题型五 函数单调性的应用典例5.(2002年全国)设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR, 求f（x）的最小值.【研析】当xa时，函数f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+.若a，则函数f（x）在上单调递减，从而，函数f（x）在上的最小值为f（a）

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