高中数学人教A版选修11练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 Word版含解析

1、（人教版）精品数学教学资料第二章 2.3 2.3.2A级基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则AOB的大小(C)A小于90 B等于90C大于90D不能确定解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，AOB大于90.2若AB为抛物线y24x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|(B)A13BC6 D4解析代入点A，B可得x14，x21，由两点间距离公式得|AB|.3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(B)A(，)B(，)C(，)D(，)解析设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|，又F(，0)，x0，y，y0，故选B4已知P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(B)A2B4C8D16解析根据题意可知，P点到准线的距离为8p10，可得p2，所以焦点到准线的距离为2p4，选B5已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的

2、中点到y轴的距离为(C)AB1CD解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，线段AB的中点到y轴的距离为.6(2017全国文，12)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为(C)AB2C2D3解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或点M在x轴的上方，M(3,2)MNl，N(1,2)|NF|4，|MF|MN|4.MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为2.故选C二、填空题7过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有_1_条.解析点M(3,2)在抛物线内部，过点M平行于x轴的直线y2与抛物线y28x只有一个交点8若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_(9，6)或(9,6)_.解析由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x，设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(

3、9)10，p2，故抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线方程，得y6，M(9,6)或M(9，6)三、解答题9(2016山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.解析如图，依题意可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由，消去y得x23px0.x1x23p.将其代入，得p2.所求的抛物线标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y24x.B级素养提升一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k(C)A2或2B1C2D3解析由，得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2(2016山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y24x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|NF|6，则M

4、N中点的横坐标为(B)AB2CD3解析F是抛物线y24x的焦点，F(1,0)，准线方程x1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，|MF|NF|xM1xN16，解得xMxN4，MN中点的横坐标为2.3等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是(B)A8p2B4p2C2p2Dp2解析设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由，得A(2p,2p)则B(2p，2p)，所以AB4p.所以SABO4p2p4p2.4过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是(D)A12B12C3D3解析设A(，y1)、B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D5已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)AB2CD3解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的

5、距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.故选B二、填空题6已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_a1_.解析本题考查了直角三角形的性质抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，则xa0.(ax)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.7P为抛物线yx2上一动点，直线l：yx1，则点P到直线l距离的最小值为.解析设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线yx1的距离d.当x0时，dmin.三、解答题8过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点若|AF|3，求|BF|的长.解析设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12，A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率为k2.直线AB的方程为y2(x1)由，消去y得，2x25x20，解得x12，x2.|BF|x21.C级能力提高1已知F是抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则32.解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x26x10，求得x132，x232，故由抛物线的定义可得32.2(2017全国文，20)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解析(1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)解：由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.

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